Wsk-erzeugende Funkionen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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1) Die diskrete Zufallsvariable X habe die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion P(s).
Geben Sie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von Y = X + 1 an.
2) Sie wollen Ihren Lottoschein mit Hilfe eines Zufallsgenerators ausfüllen. Ihnen steht
ein Programm zur Verfügung, das Ihnen pro Aufruf eine Zahl k mit 1 <= k <= 49
abliefert. Natürlich ist Ihnen klar, dass Sie für einen Tipp in der Regel nicht mit 6
Aufrufen des Programms auskommen, da Sie ja 6 verschiedene Zahlen benötigen, das
Programm aber jeweils unabhängig von vorangegangenen Ergebnissen einen Wert k
aus 1 <= k <= 49 abliefert. Die Frage ist nun, wieviele Aufrufe benötigt man für das
Ausfüllen des Lottoscheins.
a) Geben Sie ein statistisches Modell für diese Situation an.
Tipp: Versuchen Sie den Zustand mit Hilfe von (verschiedener) geometrischer Verteilungen
zu modellieren.
b) Sei S6 die Zufallsvariable, die angibt, wieviele Aufrufe für die Ausfüllung des Scheines
benötigt werden. Geben Sie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von S6 an.
Tipp: Sie werden die Lösung zu I hilfreich finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 29.06.2007 | | Autor: | freak9999 |
Hallo liebes Forum
bezüglich Aufgabe 1) hätte ich gern gewusst,wie man auf die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion kommt. Als Hinweis wurde uns vorgeben, dass X geometrisch verteilt sei.
bezüglich Aufgabe 2)habe ich leider noch garkeinen Ansatz gefunde.
Es wäre super, wenn uns jemand weiterhelfen könnte!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Breezeman |
Guten Morgen,
schön das sich noch jemand aus dem selben Kurs hier einfindet. So kann man vielleicht die Lösungen ein wenig diskutieren und sich an markanten Stellen helfen lassen...
Vielleicht kannst du mir dann eine kleine Frage beantworten 
Welchen Wert nimmt der Autokorrelationskoeffizient zum Lag 1 an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Fr 29.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin freak9999,
zunaechst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
1) [mm] $Q(t)=\mbox{E}[t^{X+1}]=\mbox{E}[tt^{X}]=t\mbox{E}[t^{X}]=tP(t)$.
[/mm]
2) Betrachte die Zufallsvariablen [mm] $X_1, X_2,...,X_6$. [/mm] Darin ist
[mm] $X_i$ [/mm] die Anzahl der Versuche, bis eine Zahl erzeugt wird, die sich von
den Zahlen unterscheidet, die in den Durchgaengen $1,2,...,i-1$ erzeugt
wurden.
Offenbar gilt [mm] $P(X_1=1)=1$. $X_2$ [/mm] besitzt eine geometrische Verteilung
mit [mm] $P(X_2=x_2)=(48/49)(1/49)^{x_2-1}$, $x_2=1,2,3,...$, $X_3$ [/mm] besitzt
eine geometrische Verteilung mit [mm] $P(X_3=x_3)=(47/49)(2/49)^{x_3-1}$,
[/mm]
[mm] $x_3=1,2,3,...$ [/mm] usw. Dann ist [mm] $S_6=1+X_1+X_2+...+X_6$. [/mm]
Beachte, dass die Zufallsvariablen unabhaengig sind.
Wir machen das jetzt mal allgemein. Gegeben seien unabhaengige
Zufallsvariablen [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] mit [mm] $P(X_i=x)=p_iq_i^{x-1}$ [/mm] fuer
$x=1,2,3,...$ Gesucht ist die WEF $h$ von [mm] $1+X_1+...+X_n$. [/mm] Es ist
[mm] $h(t)=\mbox{E}[t^{1+X_1+...+X_n}]=t\mbox{E}[t^{X_1}]\times\mbox{E}[t^{X_2}]\times...\times\mbox{E}[t^{X_n}]=tP_1(t)\times P_2(t) \times...\times P_n(t)$
[/mm]
Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfalle der negativen
Binomialverteilung. Deswegen folgt der Rest mit
https://matheraum.de/read?i=278770&hidden=1
LG
Luis
PS: Die Aufgabenstellung ist verwandt mit dem sog. Coupon Collector Problem
(Ein wenig Klugsch... am Abend )
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Hallo luis52,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe, zumindest mit deiner Antwort zu 1) sind wir jetzt etwas weitergekommen!
Bei 2) sind wir leider nicht viel weiter.
Leider ist uns nicht ganz klar, warum du Xi als die Anzahl der Versuche, bis eine Zahl erzeugt wird, die sich von den Zahlen unterscheidet, definierst.
Weiter stellt sich uns die Frage, welche Werte du in die Berechnung von P(X2), P(X3) etc. für die Werte x2-1, x3-1 einsetzen würdest.
Und als drittes verstehen wir nicht ganz, warum S6 sich aus der Addition von 1 + X1 + X2... zusammensetzt. X1 ist doch gerade 1, warum enthält der Term noch eine zusätzliche 1?
Entschuldige bitte unsere Unwissenheit :). Es wäre super wenn du uns den Teil der Aufgabe nochmals erläutern könntest. Schöne Grüße...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mo 02.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin freak9999,
im ersten Durchgang hast du immer einen Treffer, und damit nur einen Zug. Dafuer steht die 1. Angenommen, du hast die [mm] $k_1$, $1\le k_1\le [/mm] 49$, gezogen. Dann erzeugst du im zweiten Durchgang Zahlen so lange, bis eine Zahl [mm] $\ne k_1$ [/mm] erzeugt wird. Die Anzahl der Zuege im zweiten
Durchgang bezeichne ich mit [mm] $X_2$. $X_2$ [/mm] ist geometrisch verteilt mit [mm] $P(X_2=x_2)=(48/49)(1/49)^{x_2-1} [/mm] $ fuer $ [mm] x_2=1,2,3,... [/mm] $. Die Anzahl der Zuege im ersten und im zweiten Durchgang insgesamt ist dann [mm] $1+X_2$. [/mm] Wenn du im zweiten Durchgang die Zahl [mm] $k_2$, $1\le k_2\le [/mm] 49$, gezogen hast, so wartest du im dritten Durchgang so lange, bis eine Zahl [mm] $\ne k_1$ [/mm] und [mm] $\ne k_2$ [/mm] erzeugt wird. Die Anzahl der Zuege im dritten Durchgang bezeichne ich mit [mm] $X_3$. $X_3$ [/mm] ist geometrisch verteilt mit $ [mm] P(X_3=x_3)=(47/49)(2/49)^{x_3-1} [/mm] $ fuer $ [mm] x_3=1,2,3,... [/mm] $. Die Anzahl der Zuege im ersten, zweiten und dritten Durchgang insgesamt ist dann [mm] $1+X_2+X_3$. [/mm] Usw.
LG
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mi 04.07.2007 | | Autor: | freak9999 |
Hallo luis52,
vielen, vielen Dank für deine Hilfe und dass du uns die Zusammenhänge nochmals erläutert hast. Du hast uns wirklich weitergeholfen. Ich hoffe wir dürfen dich auch weiterhin was fragen!
Liebe Grüße freak9999
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