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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 04.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man beweise mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion
f(x) = [mm] x^3+ [/mm] 5/2 x -1 mindestens eine Nullstelle [mm] x_0 [/mm] im Intervall [0; 1] hat. |
f(0)=-1
f(1)=5/2
-> f(0)*f(5/2) < 0
so müsse laut Zwischenwertssatz [mm] \exists x_0 \in [/mm] (a,b) : [mm] f(x_0)=0
[/mm]
Das wird ja wahrscheinlich nicht reichen?
Wir konstruieren also Folgen, wobei [mm] a_1= [/mm] -1 und [mm] b_1=5/2 [/mm] ist.
Und m = [mm] \frac{a_n+b_n}{2}, [/mm] die Mitte von [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n
[/mm]
[mm] f(m)\ge [/mm] 0 [mm] a_{n+1} :=a_n [/mm] und [mm] b_{n+1}:=m
[/mm]
f(m)< 0 [mm] a_{n+1} [/mm] :=m und [mm] b_{n+1}:=b_n
[/mm]
So wäre [mm] (a_1+b_1)*1/2 [/mm] = 3/2
f(3/2)= 49/8 [mm] =b_2
[/mm]
[mm] a_1=-1
[/mm]
.) Was muss ich jetzt genau zeigen?
Dass [mm] a_n [/mm] monoton fallend und [mm] b_n [/mm] monoton steigend ist?
Und die Differnez eine Nullfolge bildet?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 04.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatz setzt die Stetigkeit der Funktion im zu betrachtenden Intervall voraus.
Du musst also noch zeigen, dass f(x) auf I:=[0;1] stetig ist, dass f(0)=-1 und f(1)=2,5 und somit f(0)<f(1) gilt, hast du ja schon gezeigt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Do 05.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Ah okay. Und wie mache ich das am besten? Mit dem Delta-Epsilon-Kriterium oder das der Rechtsseitige Limes= linksseitigen Limes ist?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Do 05.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ah okay. Und wie mache ich das am besten? Mit dem
> Delta-Epsilon-Kriterium oder das der Rechtsseitige Limes=
> linksseitigen Limes ist?
Ihr habt doch sicher schon in der Vorlesung einen Fundus an stetigen Funktionen zusammengestellt, oder?
Zum Beispiel sind konstante Funktionen, die Identität und die Potenz mit ganzzahligen Exponenten auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig, ebenso die Summe stetiger Funktionen und deren Produkt.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 05.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja hatten wir. Aber so braucht man ja eigentlich, gar nichts mehr zu beweisen?
Geht, dass nicht auch miT Beweis der Delta-Epsilon.Umgebung?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Do 05.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ja hatten wir. Aber so braucht man ja eigentlich, gar
> nichts mehr zu beweisen?
Genau.
> Geht, dass nicht auch miT Beweis der
> Delta-Epsilon.Umgebung?
Geht schon, ist aber reine Zeitverschwendung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Fr 06.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | ZU beweisen ist dass f !genau! eine Nullstelle im gegeben Intervall [0,1] hat.
Tipp:Monotonie-Überlegung |
Okay vielen Dank.
Hab die zweite, dazugehörige Frage dazugespostet.
Also ich muss zeigen, dass die Funktion in dem Intervall monoton steigend ist?
f(x) < f(x+1)
[mm] x^3 [/mm] + 5/2 x - 1 < [mm] (x+1)^3+5/2 [/mm] x + 5/2 -1
[mm] x^3 [/mm] > [mm] x^3 +3x+3x^2+1
[/mm]
[mm] x\in [/mm] [0,1] -> korrekt
stimmts?
LG
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> ZU beweisen ist dass f !genau! eine Nullstelle im gegeben
> Intervall [0,1] hat.
>
> Tipp:Monotonie-Überlegung
>
> Okay vielen Dank.
> Hab die zweite, dazugehörige Frage dazugespostet.
>
> Also ich muss zeigen, dass die Funktion in dem Intervall
> monoton steigend ist?
> f(x) < f(x+1)
> [mm]x^3[/mm] + 5/2 x - 1 < [mm](x+1)^3+5/2[/mm] x + 5/2 -1
> [mm]x^3[/mm] > [mm]x^3 +3x+3x^2+1[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Falsch umgeformt und verkehrte Ungleichung !
> [mm]x\in[/mm] [0,1] -> korrekt
> stimmts?
Das genügt so nicht (auch wenn die Rechnung korrekt
wäre), denn du hast ja hier nicht etwa "nur" eine Zahlen-
folge, die nur für ganzzahlige x definiert ist.
Zeigen solltest du also z.B. dass (in dem Intervall) gilt:
$\ [mm] f(x)
für jedes (noch so kleine) positive [mm] \varepsilon.
[/mm]
Einfacher ginge es aber, wenn du zeigst, dass f'(x)>0
für alle [mm] x\in[0..1] [/mm] .
Die Ableitung darfst du doch benützen, oder ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 07.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Sry dass in unter latex passiert ;)
f(x) < f(x+1)
[mm] x^3 [/mm] < [mm] (x+1)^3 [/mm] + 5/2
Ich versteh nicht ganz, warum , dass nicht reicht.
Nein ABleitung darf ich noch nicht benutzen.
Ich hab mit deinen Ansatz mal weitergetan.
$ \ [mm] f(x)
[mm] x^3 [/mm] + 5/2 x -1 < (x+ [mm] \varepsilon)^3 [/mm] + 5/2 x + 5/2 [mm] \varepsilon [/mm] -1
[mm] x^3 [/mm] < [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3x^2* \varepsilon +3x*\varepsilon^2 [/mm] + [mm] \varepsilon^3 [/mm] + 5/2 [mm] \varepsilon [/mm]
aber [mm] \varepsilon [/mm] > 0 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Sa 07.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn f(x)<f(x+1) könnte doch immer noch f/x)>f(x+0.1) sein.zwischen x und x+1 kann (wenn du nichts anderes beweist= f(x) ziemlich oft hin und her wackeln!
Gruss leduart
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> Ich hab mit deinen Ansatz mal weitergetan.
> [mm]\ f(x)
> [mm]x^3[/mm] + 5/2 x -1 < (x+
> [mm]\varepsilon)^3[/mm] + 5/2 x + 5/2 [mm]\varepsilon[/mm] -1
> [mm]x^3[/mm] < [mm]x^3[/mm] + [mm]3x^2* \varepsilon +3x*\varepsilon^2[/mm] +
> [mm]\varepsilon^3[/mm] + 5/2 [mm]\varepsilon[/mm]
> aber [mm]\varepsilon[/mm] > 0 oder?
Ja, und offensichtlich ist letztere Ungleichung für [mm] x\in[0..1] [/mm]
und [mm] \varepsilon>0 [/mm] stets erfüllt.
Somit folgt daraus die zu zeigende Monotonieeigenschaft.
LG Al-Chw.
Hinweis: du verwendest zu viele [mm] und [/mm] !
So wird der Text zerrissen und auf verschiedene Zeilen
aufgeteilt.
Es genügt ein solches Paar um jede komplette Formel oder Zeile.
Beachte den Abschnitt "Platz zwischen den Zeichen" unter "Formeln" !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Sa 07.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke für die ANtworten ;)
> Hinweis: du verwendest zu viele [mm] und [/mm] !
Ich verwende gar keine " [mm] und [/mm] "
Danke,
LG
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> Danke für die ANtworten ;)
> > Hinweis: du verwendest zu viele [mm] und !
> Ich verwende gar keine " [mm] und "
Dann waren das halt die Dollarzeichen, die aber in deinem
Quelltext auch als mm-Symbole angezeigt werden und den
gleichen Effekt haben !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 07.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> > Danke für die ANtworten ;)
> > > Hinweis: du verwendest zu viele [mm] und !
> > Ich verwende gar keine " [mm] und "
>
>
> Dann waren das halt die Dollarzeichen, die aber in deinem
> Quelltext auch als mm-Symbole angezeigt werden und den
> gleichen Effekt haben !
Verwende ich ebenfalls nicht, aber egal ;)
Liebe Grüße
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