Wähle nun als Ansatz: g(x)=f(x)-cx.
Dann ist g diff'bar und stetig auf $ [mm] [x_{1},x_{2}] [/mm] $ und nach dem Satz von Weierstraß nimmt g auf diesem Intervall sein Minimum an.
Wegen $ [mm] g'(x_{1})<0\quad(g'(x)=f'(x)-c, f'(x_{1})0 \quad (f'(x_{2})>c) [/mm] $ hat g am Rand lokale Maxima.
Dann muss g sein Minimum in einem inneren Punkt $ [mm] x_{0}\in(x_{1},x_{2}) [/mm] $ annehmen und da g diff'bar muss dort gelten: $ [mm] g'(x_{0})=0 \gdw f'(x_{0})-c=0 \gdw f'(x_{0})=c [/mm] $