geometrische Summenformel! < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es ist zu beweisen: S= [mm] \summe_{i=1}^{n} =(q^n+1-1)/(q-1)
[/mm]
S= [mm] \summe_{i=0}^{n}q^k [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{n}q^k
[/mm]
das ist mir noch verständlich!
Jetzt wird S*Q gerechnet um hinterher S von q*s abzuziehen
Somit ergibt sich:
q*S= [mm] \summe_{i=0}^{n}q^k+1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} q^k +q^n+1 [/mm] |
Ich habe den Rest des Beweises nicht mehr dazugeschrieben, weil ich diesen verstehe. Nun meine Frage:
Die letzte Umformung q*S= [mm] \summe_{i=0}^{n}q^k+1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} q^k +q^n+1 [/mm] ist mir nicht ganz klar.
Ist es nicht so, dass [mm] q^n+1, [/mm] weil es unter dem Summenzeichen steht, [mm] n*q^n+1 [/mm] lauten muss?
Sehr wahrscheinlich ist es ein Verständnisfehler der Summenregel [mm] \summe_{i=0}^{n}1 [/mm] = n+1*1
Bei dem Index 1 wäre es ja nur n*1.
Ich bin schon den ganzen Tag an diesem blöden Ding.....
Wäre nett wenn ich Hilfe erhalte.
Vielen Dank schon einmal im Vorraus
MfG Jan Willkomm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Sieh mal hier, da habe ich das neulich mal versucht zu erklären und die Formel herzuleiten.
Gruß
Loddar
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Also ersteinmal Danke!
Mein Problem ist nicht die Herleitung an sich, sondern diese spezielle Umformung! Sorry dass ich mich schlecht asugedrückt habe ;)
Es geht mir nur um diesen einen Schritt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}q^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}q^k [/mm] + q^(n+1)
Mir kommt es einfach nicht in den Sinn warum die q^(n+1) unter dem Summenzeichen nur einfach und nicht n-fach zu der Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}q^k [/mm] hinzugefügt wird. Schließlich befindet sich ja das q^(n+1) unter dem Summe. Nach der Regel(mit Beispielzahl 2 ) [mm] \summe_{i=1}^{n}2 [/mm] folgt doch daraus n*2. Wieso tritt dann das q^(n+1) aus der obigen Gleichung nicht als n* q^(n+1) auf?
Nochmals vielen Dank!
Gruß Jan
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Hallo Jan,
da ist eine Indexverschiebung gemacht worden:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}q^{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k$
[/mm]
Merkregel: Wenn du den Laufindex erhöhst, musst du den Index unter der Summe entsprechend verringern und umgekehrt - schreib dir die Summen mal hin, es sind dieselben
Diese letzte Summe wird nun "getrennt geschrieben", der letzte Summand extra
[mm] $=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}q^k\right)+q^{n+1}$
[/mm]
Klärt das deine Frage zur Umformung?
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hey.
Danke !!! :=) Also in unserem Script steht nämlich die Summe ohne die Klammer. Das hat mich aufgehalten. Somit gehört doch dann [mm] q^n+1 [/mm] nicht unter die Summenformel oder lieg ich da falsch. Hab das eben schon mal als Summe aufgeschrieben und gesehen dass es nur das selbe ergeben kann wenn die [mm] q^n+1 [/mm] nicht zur summenformel gehört ...?
Gruß Jan
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Hi nochmal,
es gehört nicht unter die Summe, schreiben wir's mal eben aus:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=q^1+q^2+....+q^{n-1}+q^{n}+q^{n+1}=\left(q^1+q^2+....+q^{n-1}+q^{n}\right)+q^{n+1}$
[/mm]
Du kannst ja assoziativ Klammern setzen, das ist ja alles endlich und damit ungefährlich
[mm] $=\left(\sum\limits_{k=1}^nq^k\right)+q^{n+1}$
[/mm]
Wenn du's unter die Summe nimmst, also [mm] $\sum\limits_{k=1}^n\left(q^k+q^{n+1}\right)$ [/mm] dann würde [mm] $q^{n+1}$ [/mm] zu jedem der n Summanden [mm] q^1,q^2,...,q^n [/mm] addiert, du müsstest dann also - wie du oben schon sagtest - [mm] $n\cdot{}q^{n+1}$ [/mm] "rausziehen"
LG
schachuzipus
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Puhh... Dank dir :)!
Danke für die Bestätigung!!!
Gruß Jan
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