indirekter Beweis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | An Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden gilt:
i. Stufenwinkel sind gleich groß.
ii. Wechselwinkel sind gleich groß.
Was ist jeweils Voraussetzung, was Behauptung in einem indirekten Beweis? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Lösung hatte ich hier zuerst:
Wenn die Stufenwinkel/Wechselwinkel nicht gleich groß sind, dann sind es keine Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden.
Aber das soll falsch sein. Wie soll denn die richtige Lösung lauten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 19.08.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Stufenwinkel gleich sind, können die Geraden sich schneiden, also nicht parallel sein,
Gruß leduart
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Wie wird der Begriff "Stufenwinkel" überhaupt definiert, falls keine Parallelitäten vorausgesetzt werden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mo 20.08.2018 | | Autor: | donp |
> Wie wird der Begriff "Stufenwinkel" überhaupt definiert, falls keine Parallelitäten vorausgesetzt werden ?
Guter Wink mit dem Zaunpfahl 
So sehen wir gleich, was sich als Voraussetzung für einen Widerpruchsbeweis anbietet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 19.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Philosophiee!
Neben Überlegungen, die in Al-Chwarizmis Richtung gehen, habe ich zwei Vermutungen, was der/die Korrigierende zu bemängeln haben könnte:
1. Du hast eine Aussage angegeben statt separat eine Voraussetzung und eine Behauptung anzugeben.
2. Das Schema des indirekten Beweises lässt ein allgemeineres Vorgehen zu als die von dir aufgeführte Aussage zu beweisen: Wir können hier die Existenz von Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden annehmen, bei denen die Stufenwinkel (bzw. Wechselwinkel) nicht gleich groß sind. Zu zeigen ist dann ein Widerspruch.
Mein Vorschlag einer Lösung wäre:
Voraussetzung: Es gibt Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden, so dass die Stufenwinkel (bzw. Wechselwinkel) nicht gleich groß sind.
Behauptung: Es liegt ein Widerspruch vor.
Wie habt ihr den indirekten Beweis denn eingeführt? Vielleicht gibt das noch einen Hinweis darauf, was hier erwartet wird.
Letztlich würde ich den/die Korrigierende(n) nach seinem/ihrem genauen Einwand gegen deine Lösung fragen, um alle Spekulationen zu erübrigen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 20.08.2018 | | Autor: | donp |
> Als Lösung hatte ich hier zuerst:
> Wenn die Stufenwinkel/Wechselwinkel nicht gleich groß
> sind, dann sind es keine Geradenkreuzungen mit zueinander
> parallelen Geraden.
> Aber das soll falsch sein.
Das würde ich als Lösung auch nicht gelten lassen. Es wäre dasselbe wie
Aussage: Wenn regnet, wird die Straße nass.
"Lösung": Wenn die Straße nicht nass wird, regnet es nicht.
Das ist nur eine andere Formulierung für die gleiche Aussage.
Es fehlt die verlangte Erklärung zu Voraussetzung und Behauptung für einen Beweis, dass die Aussage stimmt.
Denkbar wäre hier etwas wie:
Voraussetzung: Wenn es an einem Ort regnet, dann wird alles nass, was sich dort im Freien befindet.
Behauptung: Es gibt eine Straße im Freien, die nicht nass wird, wenn es darauf regnet.
Zu zeigen wäre dann mit Hilfe bereits bewiesener Tasachen, dass die Behauptung im Widerspruch zur Vorausetzung steht. Das ist hier einfach, weil "alles" eben auch alle Straßen mit einschließt. Somit ist die Behauptung falsch und die Aussage "Wenn regnet, wird die Straße nass" bewiesen.
Oder konkret mit den Geradenkreuzungen:
Voraussetzung: Die gekreuzten Geraden sind parallel.
Behauptung: Die Stufenwinkel sind nicht gleich.
Zu zeigen wäre dann mit Hilfe bekannter Sätze aus der Geometrie, dass die Behauptung im Widerspruch zur Vorausetzung steht, womit sie als falsch entlarvt und daher die Aussage bewiesen ist.
Gruß, Don
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 20.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo donp!
> Voraussetzung: Die gekreuzten Geraden sind parallel.
> Behauptung: Die Stufenwinkel sind nicht gleich.
Ich tue mich sehr schwer, etwas mit der Bezeichnung "Behauptung" durchgehen zu lassen, was wir gar nicht beweisen wollen und auch gar nicht stimmt.
Wir dürfen vielmehr VORAUSSETZEN, dass zwei gekreuzte Geraden parallel sind und die Stufenwinkel nicht gleich sind, wenn wir die Aussage aus der Aufgabenstellung indirekt beweisen möchten.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:22 Di 21.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
> Ich tue mich sehr schwer, etwas mit der Bezeichnung
> "Behauptung" durchgehen zu lassen, was wir gar nicht
> beweisen wollen und auch gar nicht stimmt.
Hmm, da habe ich wohl "indirekter Beweis" mit Widerspruchsbeweis verwechselt. Trotzdem wäre dann vielleicht eine "Annahme" besser als eine "Behauptung", die es zu widerlegen gilt. Da hast du schon recht.
Wenn ein indirekter Beweis etwas wesentlich anderes ist als ein Widerspruchsbeweis, dann sollte meine Antwort als falsch markiert werden.
Danke für den Hinweis,
Don
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 Di 21.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Don,
> Wenn ein indirekter Beweis etwas wesentlich anderes ist als
> ein Widerspruchsbeweis, dann sollte meine Antwort als
> falsch markiert werden.
Für mich ist "Widerspruchsbeweis" üblicherweise nur eine etwas saloppe Bezeichnung eines indirekten Beweises.
Viele Grüße
Tobias
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> An Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden
> gilt:
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> i. Stufenwinkel sind gleich groß.
> ii. Wechselwinkel sind gleich groß.
>
Bei einem direkten Beweis sähe das so aus:
Voraussetzung: Wir haben Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden.
Behauptung: i. Stufenwinkel sind gleich groß. ii. Wechselwinkel sind gleich groß.
Beim indirekten Beweis negiert man die Behauptung und zeigt, dass sich dann auch die Voraussetzung negiert:
Neue Voraussetzung für indirekten Beweis: i. Stufenwinkel sind nicht gleich groß oder(!) ii. Wechselwinkel sind nicht gleich groß.
Neue Behauptung für indirekten Beweis: Dann liegen keine Geradenkreuzungen mit parallelen Geraden vor.
Beachte:
Die Aussagen i. und ii. sind eigentlich mit einem UND verknüpft (sie sollen ja beide gelten), die Negation von (A und B) ist nicht(A und B) = (nicht A) oder (!) (nicht B). Aber: in diesem Fall ist das unerheblich, weil die Stufenwinkel genau dann gleich groß sind, wenn die Wechselwinkel genau gleich groß sind. (*)
Die Negation von "Wir haben Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden" ist: "Wir haben keine Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden", also entweder gar keine Geradenkreuzungen oder Geradenkreuzungen mit nicht-parallelen Geraden.
____________
(*) Ja, ich weiß, dass das pingelig und komisch klingt. Nehmen wir folgendes Beispiel für natürliche Zahlen:
Voraussetzung: x ist eine natürliche Zahl und ein Vielfaches von 5.
Behauptung: Dann ist die Endziffer von x 0 oder 5. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt indirekt:
Voraussetzung: x hat nicht die Endziffer (0 oder 5).
Behauptung: Dann ist x kein Vielfaches von 5.
Jetzt als (falsche) Aufspaltung der Voraussetzung: x hat nicht die Endziffer 0 oder nicht die Endziffer 5.
Behauptung: Dann ist x kein Vielfaches von 5. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nehmen wir die Zahl 15. Sie hat nicht die Endziffer 0. Damit wäre jetzt aber die Voraussetzung erfüllt, denn sie hat nicht die Endziffer 0 oder nicht die Endziffer 5 (das erste stimmt, und das reicht). Also dürfte nun 15 kein Vielfaches von 5 sein, was ja falsch ist.
Jetzt als richtige Aufspaltung der Voraussetzung: x hat nicht die Endziffer 0 und nicht die Endziffer 5.
Behauptung: Dann ist x kein Vielfaches von 5.
Das erste stimmt, das zweite nicht, wegen "und" ist die Voraussetzung also nicht gegeben, deshalb trifft die Behauptung nicht auf 15 zu (aber natürlich auch nicht das Gegenteil).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Di 21.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit!
> Beim indirekten Beweis negiert man die Behauptung und
> zeigt, dass sich dann auch die Voraussetzung negiert:
Du beschreibst einen Beweis durch Kontraposition. Unter dem Schema eines indirekten Beweises verstehe ich ein allgemeineres:
Wir zeigen eine Aussage B, indem wir [mm] $\neg [/mm] B$ voraussetzen und einen Widerspruch zeigen.
Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A die Negation [mm] $\neg [/mm] B$ voraussetzen und einen Widerspruch zeigen.
Jeder Beweis nach "deinem" Schema lässt sich leicht in einen Beweis nach "meinem" Schema umformulieren. Ich sehe jedoch nicht, dass sich jeder Beweis mit "meinem" Schema in einen mit "deinem" Schema umwandeln lässt. In diesem Sinne ist tatsächlich "mein" Schema eines indirekten Beweis allgemeiner als "deines" eines Beweises durch Kontraposition.
> Neue Voraussetzung für indirekten Beweis: i. Stufenwinkel
> sind nicht gleich groß oder(!) ii. Wechselwinkel sind
> nicht gleich groß.
>
> Neue Behauptung für indirekten Beweis: Dann liegen keine
> Geradenkreuzungen mit parallelen Geraden vor.
[...]
> Die Negation von "Wir haben Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden" ist: "Wir haben keine Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden", also entweder gar keine Geradenkreuzungen oder Geradenkreuzungen mit nicht-parallelen Geraden.
Aus meiner Sicht ist "Stufenwinkel sind nicht gleich groß" keine wohldefinierte Aussage, solange wir nicht Geradenkreuzungen als gegeben voraussetzen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
> Wir zeigen eine Aussage B, indem wir [mm]\neg B[/mm] voraussetzen
> und einen Widerspruch zeigen.
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> Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> zeigen.
Ja, Wenn ein Widerspruch entsteht, weißt du, dass A und [mm]\neg B[/mm] nicht gleichzeitig existieren können. Der Widerspruch könnte natürlich auch darin bestehen, dass nun gleichzeitig B und [mm] \neg [/mm] B sein müsste oder 0=1 statt [mm] \neg [/mm] A.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Di 21.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
> Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> zeigen.
Damit habe ich nun große Mühe, als "Voraussetzung" etwas hinzuschreiben, von dem ich zeigen will, dass es falsch ist.
Eine Voraussetzung ist doch etwas Gegebenes, das nicht in Zweifel gezogen werden soll. Man kann eine Behauptung widerlegen, eine Annahme oder eine Vermutung, aber keine Voraussetzung, denn die wird einfach als Tatsache im voraus gesetzt.
Von einer falschen Aussage, Behauptung, Annahme oder Vermutung kann man dann zeigen, dass sie im Widerspruch zur Voraussetzung steht und daher wirklich falsch ist.
Zwar bin ich mathematisch noch blutiger Laie und möchte auch nicht prahlen, aber an dieser Stelle muss ich doch erwähnen, dass ich einige Semester deutsche Literaturwissenschaft studiert habe und daher schon etwas von der Semantik der deutschen Sprache verstehe.
Oder anders:
> Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> zeigen.
Nachdem wir den Widerpruch gezeigt haben, beweist das dann, dass die Voraussetzung A falsch ist oder die zusätzliche Voraussetzung [mm]\neg B[/mm]? Oder vielleicht beide? Wissen wir dann wirklich etwas über die Wahrheit der Aussage B? Doch wohl nur, wenn wir wenigstens A als wahr voraussetzen. Daher scheint es mir nicht sinnvoll, etwas möglicherweise Falsches in eine Voraussetzung zu packen. Dafür gibt es wie gesagt bessere Begriffe wie Behauptung, Annahme, Vermutung etc.
Gruß, Don
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Di 21.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Tobias
>
> > Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> > zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> > die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> > zeigen.
>
> Damit habe ich nun große Mühe, als "Voraussetzung" etwas
> hinzuschreiben, von dem ich zeigen will, dass es falsch
> ist.
Hallo pnod, äh donp,
das hat Tobias auch gar nicht gesagt. Auch wenn ich einige Semester deutsche Literaturwissenschaft studiert hätte, wäre ich nicht in der Lage, Tobias Aussage derart zu verdrehen.
Gruß , Don Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 21.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Thread äh Fred
> >
> > > Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> > > zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> > > die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> > > zeigen.
> >
> > Damit habe ich nun große Mühe, als "Voraussetzung" etwas
> > hinzuschreiben, von dem ich zeigen will, dass es falsch
> > ist.
>
> Hallo pnod, äh donp,
>
> das hat Tobias auch gar nicht gesagt.
Klar hat er das gesagt:
(1) "die Aussage B zeigen" (die ist vermutlich wahr, warum sonst beweisen)
(2) "die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen" (die ist dann vermutlich falsch)
(3) "einen Widerspruch zeigen"
Das ist sinngemäß nichts anderes als ich schrub:
(2) als "Voraussetzung" etwas falsches hinschreiben,
(3) und dann zeigen, dass es falsch ist.
Nur hab' ich's deutlicher formuliert :-P
> Auch wenn ich einige
> Semester deutsche Literaturwissenschaft studiert hätte,
> wäre ich nicht in der Lage, Tobias Aussage derart zu
> verdrehen.
Du meinst w'scheinlich, auch wenn du das studiert hättest, wärst du nicht in der Lage mich zu verstehen. Normal – das sage ich meinem Psychiater auch immer: Keiner versteht mich! 
Nix für ungut, Don P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 21.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Thread äh Fred
> > >
> > > > Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> > > > zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A
> > > > die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen und einen Widerspruch
> > > > zeigen.
> > >
> > > Damit habe ich nun große Mühe, als "Voraussetzung" etwas
> > > hinzuschreiben, von dem ich zeigen will, dass es falsch
> > > ist.
> >
> > Hallo pnod, äh donp,
> >
> > das hat Tobias auch gar nicht gesagt.
> Klar hat er das gesagt:
Nein hat er nicht. Er hat gesagt:
"Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B zeigen wollen, können wir zusätzlich zur Voraussetzung A die Negation $ [mm] \neg [/mm] B $ voraussetzen und einen Widerspruch zeigen."
Du hast einfach unterschlagen, dass wir nach wie vor die Aussage A voraussetzen.
> (1) "die Aussage B zeigen" (die ist vermutlich wahr, warum
> sonst beweisen)
> (2) "die Negation [mm]\neg B[/mm] voraussetzen" (die ist dann
> vermutlich falsch)
> (3) "einen Widerspruch zeigen"
>
> Das ist sinngemäß nichts anderes als ich schrub:
> (2) als "Voraussetzung" etwas falsches hinschreiben,
> (3) und dann zeigen, dass es falsch ist.
>
> Nur hab' ich's deutlicher formuliert :-P
>
> > Auch wenn ich einige
> > Semester deutsche Literaturwissenschaft studiert hätte,
> > wäre ich nicht in der Lage, Tobias Aussage derart zu
> > verdrehen.
> Du meinst w'scheinlich, auch wenn du das studiert hättest,
> wärst du nicht in der Lage mich zu verstehen. Normal –
> das sage ich meinem Psychiater auch immer: Keiner versteht
> mich!
>
> Nix für ungut, Don P
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 21.08.2018 | | Autor: | donp |
> Er hat gesagt:
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> "Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B zeigen wollen [...]
> Du hast einfach unterschlagen, dass wir nach wie vor die Aussage A voraussetzen.
Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen Voraussetzung [mm]A \wedge \neg B[/mm] muss man auf jeden Fall annehmen, dass sie falsch ist, weil man ja von B annimmt, dass sie wahr ist.
Soviel Logik muss sein. Dachte das wäre klar. Sonst hätte ich Tobias' Kernaussage nicht so deutlich formulieren können.
Trotzdem bleibt A natürlich im Spiel und muss zwingend als wahr gelten, sonst würde der ganze Beweis nicht funktionieren.
Das ist doch genau meine Kritik an Tobias's Verfahren, dass eine Voraussetzung mal wahr sein muss, hier A, aber ein anderes mal auch falsch sein darf, hier [mm]A \wedge \neg B[/mm]. Für möglicherweise falsche Aussagen gibt es eben bessere Begriffe wie z.B. Vermutung, Behauptung, Annahme etc., habe ich alles geschrieben.
Ich sage ausdrücklich nicht, dass Tobias' Verfahren nicht funktioniert (Achtung doppelte Verneinung), aber es ist m.E. nicht sinvoll, so lasch mit den Begriffen umzugehen, ausgerechnet in der Mathematik, wo man doch so eindeutig wie irgend möglich sein sollte.
Gruß, Don Spock äh ![[]](/images/popup.gif) Boole
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Di 21.08.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen
> Voraussetzung [mm]A \wedge \neg B[/mm] muss man auf jeden Fall
> annehmen, dass sie falsch ist, weil man ja von B annimmt,
> dass sie wahr ist.
Dann hast du das Prinzip eines Widerspruchbeweises nicht verstanden.
Man nimmt gerade an, dass [mm]A \wedge \neg B[/mm] wahr ist (und nicht falsch, wie du behauptest) und führt das zu einem Widerspruch.
Daraus schlussfolgert man, dass die Annahme [mm]A \wedge \neg B[/mm] sei wahr nicht stimmen kann, folglich ist [mm]A \wedge \neg B[/mm] falsch. Und da $A$ als wahr vorausgesetzt wird, ist demzufolge [mm] $\neg [/mm] B$ falsch und daher $B$ wahr.
> Soviel Logik muss sein. Dachte das wäre klar.
Dito.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 Mi 22.08.2018 | | Autor: | donp |
Hi Gono
> > Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen
> > Voraussetzung [mm]A \wedge \neg B[/mm] muss man auf jeden Fall
> > annehmen, dass sie falsch ist, weil man ja von B annimmt,
> > dass sie wahr ist.
> Dann hast du das Prinzip eines Widerspruchbeweises nicht verstanden.
Doch, das habe ich schon verstanden. Nur meine ich hier annehmen im Sinn von glauben. Da habe ich mich ungeschickt ausgedrückt... deutsche Sprache - schwere Sprache :)
> Man nimmt gerade an, dass [mm]A \wedge \neg B[/mm] wahr ist (und
> nicht falsch, wie du behauptest) und führt das zu einem Widerspruch.
Ja, man nimmt pro forma an, dass [mm]A \wedge \neg B[/mm] wahr ist, aber man glaubt es ja nicht wirklich. Man glaubt B sei wahr und führt zum Beweis dann [mm]A \wedge \neg B[/mm] zum Widerspruch. So meine ich das eigentlich.
Es stört mich dabei, dass man etwas zur Voraussetzung krönt, von dem man glaubt, es sei falsch ([mm]A \wedge \neg B[/mm]).
Es geht doch auch anders: Wenn man glaubt, B sei wahr und will es beweisen, dann kann man isoliert [mm]\neg B[/mm] zur Annahme machen (jetzt richtig ausgedrückt) und die Voraussetzung bleibt wahr. Jetzt führt man diese Annahme mit Hilfe von A und evtl. anderen wahren Voraussetzungen zum Widerspruch, womit B bewiesen ist.
Das hat den Vorteil, dass man alle möglichen Vorausetzungen heranziehen kann, auch aus anderen Bereichen der Mathematik, weil man es immer nur mit wahren Voraussetzungen tun hat. Nicht auszudenken was alles passieren könnte, wenn man anfängt wahre und möglicherweise wahre und wahrscheinlich falsche Aussagen und und und in eine einzige Voraussetzung zu verbacken... ich spreche da mit 'ner IT-Brille... vielleicht rein mathemäßig ja nicht sooo schlimm... aber mir ist es ein Graus.
Gruß, Don P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Don,
> Nur meine ich hier
> annehmen im Sinn von glauben.
Das Gute ist: Die mathematischen Beweise funktionieren unabhängig davon, was man "glaubt".
> Es stört mich dabei, dass man etwas zur Voraussetzung
> krönt, von dem man glaubt, es sei falsch ([mm]A \wedge \neg B[/mm]).
Ich empfinde etwas zur Voraussetzung zu machen nicht als Krönung.
> Das hat den Vorteil, dass man alle möglichen
> Vorausetzungen heranziehen kann, auch aus anderen Bereichen
> der Mathematik, weil man es immer nur mit wahren
> Voraussetzungen tun hat. Nicht auszudenken was alles
> passieren könnte, wenn man anfängt wahre und
> möglicherweise wahre und wahrscheinlich falsche Aussagen
> und und und in eine einzige Voraussetzung zu verbacken...
> ich spreche da mit 'ner IT-Brille... vielleicht rein
> mathemäßig ja nicht sooo schlimm... aber mir ist es ein
> Graus.
Wenn eine Voraussetzung definitiv falsch ist, können wir aus ihr einen Widerspruch herleiten. Ist das schlimm? Aus meiner Sicht nein.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
> Wenn eine Voraussetzung definitiv falsch ist, können wir
> aus ihr einen Widerspruch herleiten. Ist das schlimm? Aus
> meiner Sicht nein.
Die Denkweise an sich ist gefährlich, kann sich sogar katastrophal auswirken. Wenn man z.B. in der Informatik eine Objektmethode definiert, die einen Parameter entgegennimmt, nennen wir ihn Vorausetzung, dann muss der Programmierer sicher wissen, was da möglicherweise reinkommt, damit es fehlerfrei verarbeitet werden kann.
Wenn die aufrufende Methode aber so programmiert ist, dass sie evtl. etwas in die Vorausetzung schmuggelt, was diese unklar macht, dann gibt es bei der Weiterverarbeitung natürlich ein Problem.
Um sowas zu vermeiden, macht man üblicherweise gewisse Konventionen, an die sich die Programmierer halten, auch wenn die Programmiersprache noch vieles andere erlauben würde.
In unsererm Fall mit der mathematischen Voraussetzung für einen Beweis, wäre eine brauchbare Konvention eben die, dass man vereinbart, Voraussetzungen immer so zu gestalten, dass sie wahr sind, was ja leicht machbar ist.
Ein zweiter Parameter, nennen wir ihn Annahme, würde dann das zu prüfende Argument aufnehmen und unsere Objektmethode wäre in der Lage sicher zu entscheiden, wie genau die Annahme mit der Vorausetzung zu verwursten ist.
Wenn man in der Informatik eine Beweismethode definieren wollte, die tobiassche Voraussetzungen akzeptiert, dann hätten die Programmierer einiges an Mehrarbeit zu leisten, wenn es denn überhaupt machbar wäre. Der Programmcode würde unübersichtlich, fehleranfällig und schwer zu warten sein.
Deshalb schrieb ich:
> ich spreche da mit 'ner IT-Brille... vielleicht rein mathemäßig ja nicht sooo schlimm... aber mir ist es ein Graus.
Als grausig empfinde ich hier die unreflektierte Verwendung des sonst allgemeinverständlichen Begriffs Voraussetzung für alles mögliche, weil diese Denkweise, wenn sie Schule macht, in anderen Bereichen kritisch werden kann.
Gruß, Don P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 21.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Er hat gesagt:
> >
> > "Wenn wir also unter einer Voraussetzung A die Aussage B
> zeigen wollen [...]
>
> > Du hast einfach unterschlagen, dass wir nach wie vor die
> Aussage A voraussetzen.
>
> Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen
> Voraussetzung [mm]A \wedge \neg B[/mm] muss man auf jeden Fall
> annehmen, dass sie falsch ist, weil man ja von B annimmt,
> dass sie wahr ist.
Das ist doch Unsinn.
>
> Soviel Logik muss sein. Dachte das wäre klar.
Soviel Überheblichkeit ist schon erstaunlich. Manchmal weiss man Sachen, die gar nicht stimmen
> Sonst hätte
> ich Tobias' Kernaussage nicht so deutlich formulieren
> können.
>
> Trotzdem bleibt A natürlich im Spiel und muss zwingend als
> wahr gelten, sonst würde der ganze Beweis nicht
> funktionieren.
>
> Das ist doch genau meine Kritik an Tobias's Verfahren, dass
> eine Voraussetzung mal wahr sein muss, hier A, aber ein
> anderes mal auch falsch sein darf, hier [mm]A \wedge \neg B[/mm].
> Für möglicherweise falsche Aussagen gibt es eben bessere
> Begriffe wie z.B. Vermutung, Behauptung, Annahme etc., habe
> ich alles geschrieben.
>
> Ich sage ausdrücklich nicht, dass Tobias' Verfahren nicht
> funktioniert (Achtung doppelte Verneinung), aber es ist
> m.E. nicht sinvoll, so lasch mit den Begriffen umzugehen,
> ausgerechnet in der Mathematik, wo man doch so eindeutig
> wie irgend möglich sein sollte.
>
> Gruß, Don Spock äh
> Boole
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mi 22.08.2018 | | Autor: | donp |
> > > Du hast einfach unterschlagen, dass wir nach wie vor die
> > Aussage A voraussetzen.
> >
> > Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen
> > Voraussetzung [mm]A \wedge \neg B[/mm] muss man auf jeden Fall
> > annehmen, dass sie falsch ist, weil man ja von B annimmt,
> > dass sie wahr ist.
>
> Das ist doch Unsinn.
Unsinn? Schade, es versteht mich wirklich keiner. Dabei gebe ich mir viel Mühe und editiere x-fach, um mich möglicht klar auszudrücken.
Tut mir sehr leid, wenn es überheblich rüberkommt, dass ich z.B. die Aussagelogik als bekannt voraussetzte. Die ist mir so in Fleisch und Blut übergegangen, das ich wirklich dachte, das weiß jeder. Ist das jetzt auch schon wieder überheblich?
Naja ich meine halt, meine Behauptung beweisen zu können. Unter Mathe-Interessierten sollte doch ein Beweis wenigstens überzeugen, falls ich den irgendwie verständlich rüberbringen kann.
Also noch ein letzter Versuch, bevor ich aufgebe. Ich formuliere um, vielleicht wird es dann deutlich.
Wir definieren
wahr :=1
falsch := 0
[mm] \wedge [/mm] := logisch UND
annehmen := glauben
i. Wir haben die Voraussetzung A und wissen A = 1 = wahr.
ii. Wir wollen beweisen: B = 1, denn wir glauben B = 1 = wahr.
iii. Wir glauben wegen (ii): [mm] $\neg [/mm] B$ = 0 = falsch.
Wenn wir nun $(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) = (1 [mm] \wedge [/mm] 0)$ neu voraussetzen, erhalten wir immer eine Voraussetzung, von der wir (iii)glauben, dass sie falsch ist. Das ist ganz unabhängig von A, denn es gilt in der Aussagelogik: $(1 [mm] \wedge [/mm] 0) = 0$ = falsch.
[mm] \Rightarrow [/mm] Man kann A entfernen und die Voraussetzung $(1 [mm] \wedge [/mm] 0)$ wird zu 0. Es bedeutet dasselbe: Wir glauben, dass sie falsch ist.
Das – und nur das – habe ich von Anfang an bemängelt an der Methode, die Negation von B in die Voraussetzung zu packen. Ich bin nämlich sehr dafür Voraussetzungen so zu wählen, dass sie sicher wahr sind, jedenfalls in dem Kontext, in dem wir gerade arbeiten. Und ich meine auch, dass das immer leicht machbar sein müsste: Man kann doch isoliert [mm] $\neg [/mm] B$ zur Annahme machen, wenn man glaubt, dass sie (iii)falsch ist, diese dann mit Hilfe wahrer Voraussetzungen (i)A widerlegen und so beweisen, dass (ii)B wahr ist.
Zum Schluss nochmal der gleiche Text mit Ersetzungen gemäß Definition:
> Du hast einfach unterschlagen, dass wir nach wie vor die Aussage 1 voraussetzen.
Stimmt, weil das ja völlig unwichtig wird: Von der neuen
Voraussetzung (i)1 [mm] \wedge [/mm] (iii)0 muss man auf jeden Fall
glauben, dass sie 0=falsch ist, weil man ja von (ii)B glaubt, dass sie 1=wahr ist.
Immer noch Unsinn? So wie es jetzt dasteht, sieht es vielleicht komisch aus, aber es ist korrekt, was ich hier hoffentlich auch beweisen konnte.
Gruss Don P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Don,
> annehmen := glauben
Damit verwendest du den Begriff annehmen aber für Mathematiker in einer ziemlich außergewöhnlichen Bedeutung...
> i. Wir haben die Voraussetzung A und wissen A = 1 = wahr.
Naja, wir setzen A als wahr voraus. Ob nun A "wirklich" wahr ist, ist für unsere Zwecke egal.
> Wenn wir nun [mm](A \wedge \neg B) = (1 \wedge 0)[/mm] neu
> voraussetzen, erhalten wir immer eine Voraussetzung, von
> der wir (iii)glauben, dass sie falsch ist.
Sonst hätten wir auch schlechte Karten, auf einen Widerspruch zu kommen...
> Ich bin nämlich sehr dafür Voraussetzungen so zu
> wählen, dass sie sicher wahr sind, jedenfalls in dem
> Kontext, in dem wir gerade arbeiten.
Dann kann man sich die Voraussetzung auch sparen, wenn sie ohnehin sicher wahr ist...
Interessant sind gerade Voraussetzungen, die nicht sicher wahr sind.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
> > annehmen := glauben
> Damit verwendest du den Begriff annehmen aber für
> Mathematiker in einer ziemlich außergewöhnlichen
> Bedeutung...
Ja, aus der Not heraus in umgangssprachlicher Bedeutung um klar zu machen wie ich es meine, weil wir uns ja offenbar ständig missverstehen. Wenn ich umgangssprachlich sage "Ich glaube morgen regnet's", dann versteht wenigstens jeder wie es gemeint ist.
> > i. Wir haben die Voraussetzung A und wissen A = 1 = wahr.
> Naja, wir setzen A als wahr voraus. Ob nun A "wirklich"
> wahr ist, ist für unsere Zwecke egal.
Klar, ein "wirklich" in philosophischem Sinn als absolute Wahrheit gibt es wohl nicht, glaube ich jedenfalls . Also ist das natürlich egal.
> Naja, wir setzen A als wahr voraus.
Genau. Und das bedeutet eben, das wir wissen, das es für unsere Zwecke wahr ist, weil wir es ja selber gesetzt haben, buchtäblich im voraus gesetzt = vorausgesetzt. Beispiel:
Sei n eine natürliche Zahl < 667.
Ab hier ist das eine wahre Tatsache, die wir gerade erschaffen haben. Es ergibt keinen Sinn, diese nachher wieder in Zweifel ziehen zu wollen.
> > Wenn wir nun [mm](A \wedge \neg B) = (1 \wedge 0)[/mm] neu
> > voraussetzen, erhalten wir immer eine Voraussetzung, von
> > der wir (iii)glauben, dass sie falsch ist.
> Sonst hätten wir auch schlechte Karten, auf einen
> Widerspruch zu kommen...
Ist klar.
> > Ich bin nämlich sehr dafür Voraussetzungen so zu
> > wählen, dass sie sicher wahr sind, jedenfalls in dem
> > Kontext, in dem wir gerade arbeiten.
> Dann kann man sich die Voraussetzung auch sparen, wenn sie ohnehin sicher wahr ist...
Nein, natürlich nicht. Man muss ja zuerst erklären, worum es überhaupt geht. Im Beispiel oben geht es dann um alle $n [mm] \in \IN \,|\, [/mm] n<667$.
> Interessant sind gerade Voraussetzungen, die nicht sicher wahr sind.
Dann sind es mathematische Annahmen, keine Voraussetzungen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") .
Aber wir drehen uns im Kreis. Ich fürchte, da kommen wir einfach nicht zusammen.
Grüße, Don P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Di 21.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo donp und Fred!
Nimms mir bitte nicht übel, Fred, aber ich empfinde donps Interpretationen nicht als Verdrehung des von mir Geschriebenen.
Grundsätzlich: Unter einer Voraussetzung verstehe ich etwas, was wir in einem gewissen Kontext als gegeben annehmen. Unter einer Behauptung verstehe ich etwas, was wir in einem gewissen Kontext beweisen möchten.
> Damit habe ich nun große Mühe, als "Voraussetzung" etwas
> hinzuschreiben, von dem ich zeigen will, dass es falsch
> ist.
Im "Teilbeweis"/"Unterbeweis", dass A und [mm] $\neg [/mm] B$ zusammen einen Widerspruch implizieren, ist [mm] $\neg [/mm] B$ eine Voraussetzung.
Insgesamt zeigt ein erfolgreicher solcher Teilbeweis: A impliziert B.
Ich sehe kein Problem darin.
> Eine Voraussetzung ist doch etwas Gegebenes, das nicht in
> Zweifel gezogen werden soll.
Im Teilbeweis ist ja auch [mm] $\neg [/mm] B$ gegeben und soll nicht in Zweifel gezogen werden.
> Man kann eine Behauptung
> widerlegen, eine Annahme oder eine Vermutung, aber keine
> Voraussetzung, denn die wird einfach als Tatsache im voraus
> gesetzt.
Im Teilbeweis dient [mm] $\neg [/mm] B$ ja auch nicht dazu, widerlegt zu werden.
Es geht im Teilbeweis auch nicht darum, Vermutungen über [mm] $\neg [/mm] B$ anzustellen oder [mm] $\neg [/mm] B$ zu beweisen wie eine Behauptung.
> Von einer falschen Aussage, Behauptung, Annahme oder
> Vermutung kann man dann zeigen, dass sie im Widerspruch zur
> Voraussetzung steht und daher wirklich falsch ist.
???
> Nachdem wir den Widerpruch gezeigt haben, beweist das
> dann, dass die Voraussetzung A falsch ist oder die
> zusätzliche Voraussetzung [mm]\neg B[/mm]? Oder vielleicht beide?
In der von mir beabsichtigten Weise schließe ich aus dem erfolgreichen Teilbeweis, dass die Aussage A die Aussage B impliziert (d.h. dass unter der Voraussetzung A die Behauptung B gilt).
> Wissen wir dann wirklich etwas über die Wahrheit der
> Aussage B? Doch wohl nur, wenn wir wenigstens A als wahr
> voraussetzen.
Natürlich. In dem von dir zitierten Teil meines Beitrags war doch gerade das Ziel zu zeigen, dass unter Voraussetzung A die Behauptung B gilt.
> Daher scheint es mir nicht sinnvoll, etwas
> möglicherweise Falsches in eine Voraussetzung zu packen.
Wenn du dich konsequent weigern würdest, "möglicherweise Falsches" in Beweisen vorauszusetzen, würden wohl die meisten mathematischen Beweise für dich nicht mehr funktionieren...
> Dafür gibt es wie gesagt bessere Begriffe wie Behauptung,
> Annahme, Vermutung etc.
Wenn dir das Wort Annahme besser gefällt als das Wort Voraussetzung, kannst du überall in meinen Beiträgen das Wort Voraussetzung durch das Wort Annahme ersetzen. Ich verwende diese beiden Begriffe synonym.
Mit den Begriffen Behauptung und Vermutung bin ich in diesem Kontext aber nicht einverstanden, da kein Beweis von [mm] $\neg [/mm] B$ beabsichtigt ist, sondern [mm] $\neg [/mm] B$ vielmehr im Teilbeweis vorausgesetzt/angenommen wird.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Di 21.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
Es sind zwar "nur" Wörter, die man vielleicht mal so - mal so deuten kann, aber in der Mathematik halte ich das für fatal. Die vielen Begriffe sind ohnehin schon sooo schwierig zu merken, zu lesen, zu schreiben und zu verstehen, dass Mehrdeutigkeiten wichtiger Wörter einfach nur noch stören.
Eine Behauptung ist nach meinem Verständnis eine Aussage, die unter wahren Voraussetzungen einfach bewiesen werden soll, vielleicht sogar schon mehr oder weniger offensichtlich wahr ist und nur des guten Tons wegen noch ausführlich bewiesen wird. Z.B wird in der euklidischen Geometrie einfach vorausgesetzt, dass sich parallele Geraden nicht schneiden. Man muss diese Voraussetzung nicht explizit notieren.
Eine Vermutung ist meines Wissens eine sehr widerspenstige Aussage, wie die harmlos scheinende Collatzsche Vermutung, die bis sich jetzt hartnäckig gegen jeden Beweis- oder Widerlegungsversuch gesträubt hat. Auch die muss unter wahren Voraussetzungen bewiesen oder widerlegt werden. Man kann ja schlecht einen Sachverhalt aus dem Hut zaubern, der gar nicht "verhebbt", wie wir im Süden sagen. So muss man ebenfalls nicht jede Voraussetzung explizit notieren.
Eine Annahme eignet sich m.E. am besten für Widerspruchsbeweise, wie im Beweis für den Satz von Euklid: "Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen..." Ziel ist es, einen Widerspruch mit beliebigen wahren Voraussetzungen zu zeigen, womit diese Annahme widerlegt und ihr Gegenteil bewiesen ist. Auch hier muss man nicht alle bekannten Vorausetzungen explizit notieren.
Eine Voraussetzung – und dabei bleibe ich – die man explizit als solche aufschreibt, sollte dann möglichst auch immer wahr sein, damit man sie gleichwertig wie alle anderen, nicht extra notierten Voraussetzungen im Beweis verwenden kann.
Warum sich das jetzt, wie du sagst, z.B. bei einem Teilbeweis anders verhalten soll, erschließt sich mir bis jetzt nicht – was immer auch ein Teilbeweis genau sein mag.
LG Don
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Don,
> Eine Behauptung ist nach meinem Verständnis eine Aussage,
> die unter wahren Voraussetzungen einfach bewiesen werden
> soll, vielleicht sogar schon mehr oder weniger
> offensichtlich wahr ist und nur des guten Tons wegen noch
> ausführlich bewiesen wird. Z.B wird in der euklidischen
> Geometrie einfach vorausgesetzt, dass sich parallele
> Geraden nicht schneiden. Man muss diese Voraussetzung nicht
> explizit notieren.
In deinen letzten beiden Sätzen geht es um Voraussetzungen, nicht um Behauptungen?!
> Eine Voraussetzung – und dabei bleibe ich – die man
> explizit als solche aufschreibt, sollte dann möglichst
> auch immer wahr sein, damit man sie gleichwertig wie alle
> anderen, nicht extra notierten Voraussetzungen im Beweis
> verwenden kann.
Man beweist doch nur, dass unter den Voraussetzungen eine Behauptung gilt. Warum sollen die Voraussetzungen dann immer wahr sein?
Natürlich kann man alle Voraussetzungen im Beweis verwenden, solange man eben nur etwas unter diesen Voraussetzungen beweist.
> Warum sich das jetzt, wie du sagst, z.B. bei einem
> Teilbeweis anders verhalten soll, erschließt sich mir bis
> jetzt nicht – was immer auch ein Teilbeweis genau sein
> mag.
Es soll sich bei Teilbeweisen ja auch nichts grundlegend anders verhalten.
Ich wollte lediglich darauf hinweisen, dass wir zwischen den Voraussetzungen für unseren Gesamtbeweis (im Beispiel nur A) und den Voraussetzungen von Teilbeweisen (im Beispiel A und [mm] $\neg [/mm] B$) unterscheiden müssen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Mi 22.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo Tobias
Folgendes will ich jetzt noch loswerden, weil es genau den Kern der Sache trifft, um den es mir geht:
> Wenn dir das Wort Annahme besser gefällt als das Wort
> Voraussetzung, kannst du überall in meinen Beiträgen das
> Wort Voraussetzung durch das Wort Annahme ersetzen.
Genau: Es geht doch hauptsächlich um die Begriffe, weniger um das Verfahren an sich, weil es doch in der Ausgangsfrage "Was ist jeweils Voraussetzung, was Behauptung [...]?" eigentlich nur um die Begriffe geht.
> Ich verwende diese beiden Begriffe synonym.
Und dagegen spreche ich mich eben aus: Die Begriffe Annahme/annehmen und Voraussetzung/voraussetzen sind in der deutschen Sprache nicht synonym:
- Eine Annahme kann wahr sein oder auch falsch. Man kann das rausfinden.
- Eine Voraussetzung impliziert, das sie erfüllt ist. Sie kann nicht falsch sein, nur eben nicht erfüllt. Alles, was die Voraussetzung nicht erfüllt, ist dann außerhalb der Betrachtung, nicht definiert, spielt nicht mit.
Beispiel 1:
Mein Chef fragt "Warum sind Sie noch nicht fertig?" und ich antworte "Ich kann leider nicht zaubern!". Darauf er:
a) "Das ist aber Voraussetzung!"
b) "Ich hatte angenommen, das Sie das können!"
Im Fall a) bin ich gefeuert, denn ich erfülle die Voraussetzung nicht, gehöre quasi nicht zum Definitionsbereich für qualifizierte Angestellte. Die Voraussetzung ist dadurch nicht falsch, nur eben von mir nicht erfüllt.
Im Fall b) hat sich der Chef eben geirrt und es hat keine weiteren Konsequenzen. Seine Annahme war nur falsch, und er hat was dazugelernt.
Beispiel 2:
Jemand fragt "Was machst du nächsten Sonntag?" und ich antworte
a) "Ich bleibe zu Hause, nehme an dass es regnet."
b) "Ich bleibe zu Hause, vorausgesetzt es regnet."
Im Fall a) bleibe ich sicher zu Hause und plane nichts anderes. Die Annahme kann sich als wahr oder falsch herausstellen, das erzwingt keine Handlung. Dass ich zu Hause bleibe ist beschlossen und die Annahme nur schmückende Erklärung.
Im Fall b) plane ich etwas anderes, nur die Voraussetzung kann mich davon abhalten. Die Voraussetzung erzwingt die Handlung, dass ich zu Hause bleibe, wenn sie erfüllt ist. Falls sie nicht erfüllt ist, dann ist sie nicht etwa falsch, sondern einfach nur nicht eingetreten bzw. nicht erfüllt.
Fazit:
Zwei Aussagen $(A [mm] \wedge \neg [/mm] B)$ zu einer Voraussetzung zusammenzufassen ergibt keinen Sinn, wenn man davon ausgeht, dass sie zusammen falsch sind. Es wäre ja eine "Voraussetzung", die gar nicht erfüllt sein kann.
Weiß jetzt nicht, ob "Voraussetzung" in der Mathematik überhaupt klar definiert ist. Falls nicht, sollte man das wohl unbedingt nachholen.
Gruß, Don P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hi Don,
wie man die Begriffe Voraussetzung und Annahme außerhalb der Kommunikation über mathematische Beweise verwendet, finde ich relativ irrelevant für meinen "mathematischen Alltag".
Daher gehe ich nun nur auf die Begriffe im mathematischen Kontext ein:
> - Eine Annahme kann wahr sein oder auch falsch. Man kann
> das rausfinden.
Oder je nach Kontext wahr oder falsch.
Eine Annahme zu treffen, zwingt mich nicht, sie klar als falsch oder wahr identifizieren zu können.
> - Eine Voraussetzung impliziert, das sie erfüllt ist. Sie
> kann nicht falsch sein, nur eben nicht erfüllt. Alles, was
> die Voraussetzung nicht erfüllt, ist dann außerhalb der
> Betrachtung, nicht definiert, spielt nicht mit.
Ich sehe keinen Gewinn in dieser Einschränkung, dass jede Voraussetzung erfüllbar sein müsse.
> Fazit:
> Zwei Aussagen [mm](A \wedge \neg B)[/mm] zu einer Voraussetzung
> zusammenzufassen ergibt keinen Sinn, wenn man davon
> ausgeht, dass sie zusammen falsch sind. Es wäre ja eine
> "Voraussetzung", die gar nicht erfüllt sein kann.
Wo ist das Problem daran? Wir wollen doch gerade einen Widerspruch zeigen und somit nachweisen, dass die Voraussetzung/Annahme falsch war.
> Weiß jetzt nicht, ob "Voraussetzung" in der Mathematik
> überhaupt klar definiert ist. Falls nicht, sollte man das
> wohl unbedingt nachholen.
Für den "normalen" Mathematiker ist das Wort "Voraussetzung" ein metasprachliches, also ein Wort zum Reden über Mathematik und kein streng definierter mathematischer Begriff.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:32 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
Hi Tobias
> wie man die Begriffe Voraussetzung und Annahme außerhalb der Kommunikation über mathematische Beweise verwendet, finde ich relativ irrelevant für meinen "mathematischen Alltag".
> Für den "normalen" Mathematiker ist das Wort "Voraussetzung" ein metasprachliches, also ein Wort zum Reden über Mathematik und kein streng definierter mathematischer Begriff.
Verstehe: Der "normale" Mathematiker interessieret sich nicht für die allgemeine Bedeutung der mathematisch schwammigen Begriffe, die er zum Reden über seine Wissenschaft verwendet. Er fragt sie nur mal gelegentlich als Lehrer/Prof in Aufgaben wie "Was ist Voraussetzung, was Behauptung..." ab, um Schüler/Studenten ins Grübeln zu bringen. Wenn ihm ein Germanist mal zufällig die allgemein klare Bedeutung erklärt, dann ignoriert er es nach dem Motto "Ich hab' das schon verstanden, es ist mir nur egal."
Ok, das war jetzt zynisch, aber was anderes bleibt mir wohl nicht mehr übrig. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG Don P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Don!
1. Wichtig ist mir innerhalb eines Beweises die Unterscheidung zwischen als gegeben vorausgesetzten/angenommenen Aussagen und zu zeigenden Aussagen / Behauptungen. Hingegen sind Betrachtungen, an was wir "glauben" und absolute Wahrheits- und Falschheitsbegriffe meiner Erfahrung nach unwichtig und nicht hilfreich.
Beispiel: Wir betrachten folgende mathematische Bemerkung:
Sei n eine natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist.
Dann ist n durch 3 teilbar.
Hier ist "n ist eine durch 6 teilbare natürliche Zahl" die einzige explizit aufgeführte Voraussetzung und "n ist durch 3 teilbar" die Behauptung.
Es hilft nun nicht weiter, sich darüber zu beschweren, dass die Voraussetzung ja gar nicht wahr sein müsste (es könnte ja z.B. auch n=5 gelten...), möglicherweise also falsch ist und "trotzdem" zur Voraussetzung "gekrönt" wird.
2. Die Voraussetzungen / der Kontext, in dem der Beweis arbeitet, kann in Teilbeweisen ein anderer sein als im Gesamtbeweis.
Beispiel: Obige Bemerkung würde man vielleicht so beweisen:
Weil n durch 6 teilbar ist, existiert eine natürliche Zahl k mit 6*k=n.
Daher gilt n=6*k=(3*2)*k=3*(2*k).
Mit k ist auch 2*k eine natürliche Zahl und somit ist n durch 3 teilbar.
Wenn man diesen Beweis genauer unter die Lupe nimmt, stellt man fest:
Nach der ersten Zeile argumentieren wir unter der zusätzlichen Voraussetzung "k ist eine natürliche Zahl mit 6*k=n"!
Ähnlich ist es beim indirekten Beweis: Anstelle nur von A als Voraussetzung, argumentieren wir unter der zusätzlichen Voraussetzung [mm] $\neg [/mm] B$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
> Hingegen sind Betrachtungen, an
> was wir "glauben" und absolute Wahrheits- und
> Falschheitsbegriffe meiner Erfahrung nach unwichtig und
> nicht hilfreich.
Sie sind sogar sehr hilfreich um den Gedankengang zu verdeutlichen. Natürlich nicht in der eigentlichen mathematischen Sprache, aber in Diskussionen auf jeden Fall. Aus dem gleichen Grund gibt es z.B. Smilies in Foren, die ich hier jetzt mal ausprobiere. Aber keine Angst, es wird nicht zur Gewohnheit .
> Sei n eine natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist.
> Dann ist n durch 3 teilbar.
>
> Hier ist "n ist eine durch 6 teilbare natürliche Zahl" die
> einzige explizit aufgeführte Voraussetzung und "n ist
> durch 3 teilbar" die Behauptung.
Yep, so ist es.
> Es hilft nun nicht weiter, sich darüber zu beschweren,
> dass die Voraussetzung ja gar nicht wahr sein müsste (es
> könnte ja z.B. auch n=5 gelten...), möglicherweise also
> falsch ist und "trotzdem" zur Voraussetzung "gekrönt"
> wird.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") n=5 erfüllt nicht die Voraussetzung. Wie sollte das gelten? Wie wollte man es zur Voraussetzung machen? Vielleicht so:
Sei n eine natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist und für die gilt n=5.
Das wäre ja wohl reiner Blödsinn.
> Beispiel: Obige Bemerkung würde man vielleicht so beweisen:
>
> (1) Weil n durch 6 teilbar ist, existiert eine natürliche Zahl k mit 6*k=n.
> (2) Daher gilt n=6*k=(3*2)*k=3*(2*k).
> (3) Mit k ist auch 2*k eine natürliche Zahl und somit ist n durch 3 teilbar.
[Nummerierung von mir]
> Wenn man diesen Beweis genauer unter die Lupe nimmt, stellt man fest:
> Nach der ersten Zeile argumentieren wir unter der zusätzlichen Voraussetzung "k ist eine natürliche Zahl mit 6*k=n"!
Du meinst in (1), ok. Dagegen ist nichts einzuwenden, warum auch? Da schwingen jede Menge zusätzliche Voraussetzungen mit, wie z.B. auch die, dass es undendlich viele natürliche Zahlen gibt und und und. Diese sind alle bekanntlich bewiesen, sonst könnte man sie nicht brauchen. Das ist ja gerade der Punkt. Dass sie verlässliche Tatsachen sind, krönt oder adelt sie sozusagen. Der Adel bleibt ja unter seinesgleichen, vermählt sich ungern mit zwielichtigen Gestalten wie [mm] $\neg [/mm] B$ .
> Ähnlich ist es beim indirekten Beweis: Anstelle nur von A
> als Voraussetzung, argumentieren wir unter der
> zusätzlichen Voraussetzung [mm]\neg B[/mm].
Du meinst: (1a) Sei n eine natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist und nicht durch 3.
Natürlich kann man das machen, aber es ist nicht sinnvoll! Jedem Informatiker rollen sich dabei die Zehennägel auf. Besser so:
(1) Sei n eine natürliche Zahl, die durch 6 teilbar ist.
(2) Angenommen n sei nicht durch 3 teilbar...
Warum nicht sinnvoll habe ich schon erklärt: Weil wir eh nicht glauben, dass die "Voraussetzung" stimmt. Deshalb wollen wir sie ja auch widerlegen. Es ist dann halt keine belastbare Voraussetzung mehr wie alle anderen, die man jederzeit zusätzlich irgendwo her nehmen kann, siehe oben.
Man nehme noch [mm] 2\dots3 [/mm] andere zweifelhafte Kandidaten als gegeben dazu und das Chaos ist perfekt. Nirgends habe ich behauptet, dass man das nicht machen kann, nur dass man es besser nicht machen soll. Du hast dieses Vorgehen ja immerhin hier propagiert, und meinerseits ist es eben ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]") .
Apropos Logik: Wenn ich dir jetzt recht gebe, dann liegen wir ja beide falsch ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") !
Ist alles meine persönliche Meinung. Da werden wir uns anscheinend nicht mehr einig ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]") .
Gruß, Don P
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Nachdem nun von allen alles philosophisch-logisch aufgearbeitet wurde, versuche ich jetzt noch einmal, die Ursprungsfrage vereinfachend zu klären.
Zunächst ist ein Widerspruchsbeweis einfach ein Beweis, der zeigt, das irgendetwas nicht sein kann und daher das Gegenteil der Fall ist.
Deswegen - da gebe ich Tobias Recht - folgt aus [mm] \neg [/mm] (A und [mm] \neg [/mm] B), dass A oder [mm] \neg [/mm] B falsch ist (oder beides), also [mm] \neg [/mm] A oder B gilt. Das heißt: Entweder ist B sowieso immer richtig, dann folgt es auch aus A (aber A hat gar nichts damit zu tun), oder man kann nun aus der Annahme, dass A richtig ist , schließen, dass wegen [mm] \neg [/mm] A falsch B richtig sein muss.
In beiden Fällen folgt : aus A folgt B.
Jetzt das Eigentliche:
Mit Hilfe der Wahrheitstafeln kann man zeigen:
(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) = [mm] \neg [/mm] (A und [mm] \neg [/mm] B) (Das ist die eigentliche Definition von [mm] \Rightarrow)
[/mm]
Damit gilt aber weiter:
...= [mm] \neg(\neg [/mm] B und A)= [mm] (\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A) (wieder nach Definition von [mm] \Rightarrow)
[/mm]
Somit ist ein Widerspruchsbeweis zu A [mm] \Rightarrow [/mm] B immer äquivalent zu [mm] (\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A),
und damit stimme ich der Einschränkung von Tobias meiner ersten Erklärung gegenüber nicht mehr zu (wie ich es in meinem zweiten Beitrag getan habe).
Bei der Aufgabe geht es offensichtlich darum, genau diese Umkehrung darzustellen, wie ich es in meinem ersten Beitrag angenommen habe. Daher kann man jetzt als Voraussetzung und Behauptung genau das nehmen, was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mi 22.08.2018 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit!
> Somit ist ein Widerspruchsbeweis zu A [mm]\Rightarrow[/mm] B immer
> äquivalent zu [mm](\neg[/mm] B) [mm]\Rightarrow (\neg[/mm] A),
> und damit stimme ich der Einschränkung von Tobias meiner
> ersten Erklärung gegenüber nicht mehr zu (wie ich es in
> meinem zweiten Beitrag getan habe).
In welchem Sinne äquivalent? Natürlich sind die Aussagen [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ und [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$ (in der klassischen Logik) äquivalent.
Aber kämen wir auch ohne echte Widerspruchsbeweise (in "meinem" Sinne) aus, wenn stattdessen nur "deine" Kontrapositionsbeweise zur Verfügung stehen hätten? Diese (noch unpräzise) Frage betrifft Äquivalenz von Schlussregeln und nicht von Aussagen. Ich weiß bisher noch keine sinnvolle Antwort auf meine Frage.
Wie dem auch sei: Die Antwort des Fragestellers sollte zu dem Schema passen, das in der zugehörigen Vorlesung als Schema des indirekten Beweises gelehrt wurde; vielleicht können wir uns darauf einigen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
ich versuche mal, ein dir sicher bekanntes Beispiel zu finden, wo deine Beweisführung (scheinbar) von meiner abweicht. Es hat ja nicht viel Sinn, nur theoretisch zu argumentieren, sonst redet man wahrscheinlich nur aneinander vorbei.
Behauptung: [mm] \wurzel{2} [/mm] ist irrational.
indirekter Beweis: angenommen, [mm] \wurzel{2} [/mm] ist rational, also [mm] \wurzel{2}=\bruch{p}{q} [/mm] mit p,q [mm] \in \IN, [/mm] p,q teilerfremd.
[mm] \Rightarrow [/mm] 2= [mm] (\bruch{p}{q})^2 [/mm] = [mm] \bruch{p^2}{q^2} \Rightarrow 2p^2 [/mm] = [mm] q^2 \Rightarrow [/mm] q gerade [mm] \Rightarrow [/mm] q=2t [mm] \Rightarrow 2p^2=4t^2 \Rightarrow p^2 [/mm] = [mm] 2t^2 \Rightarrow [/mm] p auch gerade [mm] \Rightarrow [/mm] p,q nicht teilerfremd, Widerspruch!
Also ist [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational.
Hier haben wir also einen Widerspruchsbeweis, wobei aber die Aufgabenstellung anders ist. In der Aufgabenstellung von Philosophiee ging es um Voraussetzung und Behauptung in einer entsprechenden Wenn-Dann-Aussage, die hier (scheinbar) nicht vorliegt.
Tatsächlich kann man das obige Beispiel aber bei genauerer Betrachtung ebenfalls als Wenn-Dann-Aussage auffassen:
Voraussetzung: x = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Behauptung: x kann nicht als Bruch geschrieben werden
indirekt:
Voraussetzung: x kann als Bruch geschrieben werden
Behauptung: x [mm] \ne \wurzel{2}
[/mm]
Beweiskette wie oben, aber statt "Widerspruch": Da man Brüche aber bis zur Teilerfremdheit kürzen kann, kann x nicht [mm] \wurzel{2} [/mm] gewesen sein.
Und damit entspricht dein Vorgehen letztlich doch meinem.
Vielleicht findest du ja ein Beispiel, wo es anders ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
| Aufgabe | An Geradenkreuzungen mit zueinander parallelen Geraden gilt:
i. Stufenwinkel sind gleich groß.
ii. Wechselwinkel sind gleich groß.
Was ist jeweils Voraussetzung, was Behauptung in einem indirekten Beweis? |
Hallo HJK...
Du schreibst:
> Somit ist ein Widerspruchsbeweis zu A [mm]\Rightarrow[/mm] B immer äquivalent zu [mm](\neg[/mm] B) [mm]\Rightarrow (\neg[/mm] A)
> [..]
> Bei der Aufgabe geht es offensichtlich darum, genau diese
> Umkehrung darzustellen, wie ich es in meinem ersten Beitrag
> angenommen habe. Daher kann man jetzt als Voraussetzung und
> Behauptung genau das nehmen, was ich in meinem ersten
> Beitrag geschrieben habe.
Dort hast du ja geschrieben:
> Beim indirekten Beweis negiert man die Behauptung und
> zeigt, dass sich dann auch die Voraussetzung negiert:
>
> Neue Voraussetzung für indirekten Beweis:
> i. Stufenwinkel sind nicht gleich groß oder(!)
> ii. Wechselwinkel sind nicht gleich groß.
>
> Neue Behauptung für indirekten Beweis: Dann liegen keine
> Geradenkreuzungen mit parallelen Geraden vor.
Leider verwirrt mich das jetzt noch mehr. Philosophiee hatte es doch zuerst auch so formuliert und negative Rückmeldung bekommen:
> Als Lösung hatte ich hier zuerst:
> Wenn die Stufenwinkel/Wechselwinkel nicht gleich groß
> sind, dann sind es keine Geradenkreuzungen mit zueinander
> parallelen Geraden.
> Aber das soll falsch sein.
Vom Sinn her ist es doch das gleiche wie in deinem ersten Beitrag. Hat Philosophiee also nur versäumt, Voraussetzung und Behauptung explizit als solche zu kenzeichnen? Sicher kann man sagen, dass damit die eigentliche Frage nach dem "was" nicht beantwortet wurde. Ist es also nur das?
Ich dachte halt, dass es als falsch ist, gerade weil A [mm]\Rightarrow[/mm] B "nur" äquivalent ist zu [mm](\neg[/mm] B) [mm]\Rightarrow (\neg[/mm] A).
Daher meinte ich, dass man besser die Voraussetzung stehen lässt, nur die Behauptung negiert, und dann zeigt, dass sie im Widerspruch zur Voraussetzung steht, so wie ich es in meinem ersten Beitrag geschrieben habe:
> Voraussetzung: Die gekreuzten Geraden sind parallel.
> Behauptung: Die Stufenwinkel sind nicht gleich.
>
> Zu zeigen wäre dann [...], dass die Behauptung im Widerspruch zur Vorausetzung steht
Wäre das jetzt ein Widerspruchsbeweis oder ein "indirekter Beweis"? Oder sind die Bezeichnungen synonym?
Fragen über Fragen...
Gruß, Don P
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Hallo, Don P ,
ich zitiere mal aus Wikipedia:
Als Beweistechnik ist die reductio ad absurdum unter der Bezeichnung „indirekter Beweis“ oder „Widerspruchsbeweis“, „Beweis durch Widerspruch“ bekannt. Dieser indirekte Beweis ist dadurch gekennzeichnet, dass man die zu beweisende Aussage nicht direkt herleitet, sondern dass man ihr kontradiktorisches Gegenteil (d. h. die Annahme, dass die Aussage nicht zutreffe) widerlegt. In der klassischen, zweiwertigen Logik, in der jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, ist mit diesem Widerlegen des Gegenteils einer Aussage gezeigt, dass die betroffene Aussage korrekt ist.
Also alles dasselbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Do 23.08.2018 | | Autor: | donp |
Hallo HJK..
>
> ich zitiere mal aus Wikipedia: [...]
Ah sorry, das hätte ich natürlich auch selber raussuchen können *kopfpatsch*.
Danke und Gruß,
Don P
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