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Hallo,
ich habe mir vorhin etwas überlegt
Ich habe die Aufgabe, das Integral von [mm] \wurzel{2x} [/mm] zu bilden.
Es müsste ja herauskommen:
[mm] 1/2*2/3\wurzel{2x3} [/mm] raukommen oder?
Aber kann man dies nicht auch leichter finden, indem man sagt:
[mm] \wurzel{2x} [/mm] ist ja [mm] (2x)^{1/2}. [/mm] Nun das "äußere Integrieren", also [mm] 3/2*(2x)^{3/2}, [/mm] nun fehlt aber noch 1/2, also 1 DURCH die Ableitung der Klammer, also 2.
Könnte man dies auch so für andere Wurzel/Kettenfunktionen anwenden? Ich meine unser alter Mathelehrer hätte uns das mal so gezeigt, aber ich weiß nicht mehr, ob das eine wirkliche Regel war oder Zufall.
Danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe mir vorhin etwas überlegt
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> Ich habe die Aufgabe, das Integral von [mm]\wurzel{2x}[/mm] zu
> bilden.
Ganz einfach: [mm]\wurzel{2x}=\wurzel{2}\cdot\wurzel{x}[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist ein konstanter Faktor, und eine Stammfuntion von [mm] y=\wurzel{x} [/mm] ist [mm] \bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}.
[/mm]
Gruß Abakus
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> Es müsste ja herauskommen:
>
> [mm]1/2*2/3\wurzel{2x3}[/mm] raukommen oder?
>
> Aber kann man dies nicht auch leichter finden, indem man
> sagt:
>
> [mm]\wurzel{2x}[/mm] ist ja [mm](2x)^{1/2}.[/mm] Nun das "äußere
> Integrieren", also [mm]3/2*(2x)^{3/2},[/mm] nun fehlt aber noch 1/2,
> also 1 DURCH die Ableitung der Klammer, also 2.
>
> Könnte man dies auch so für andere Wurzel/Kettenfunktionen
> anwenden? Ich meine unser alter Mathelehrer hätte uns das
> mal so gezeigt, aber ich weiß nicht mehr, ob das eine
> wirkliche Regel war oder Zufall.
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> Danke euch!
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> > Hallo,
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> > ich habe mir vorhin etwas überlegt
> >
> > Ich habe die Aufgabe, das Integral von [mm]\wurzel{2x}[/mm] zu
> > bilden.
> Ganz einfach: [mm]\wurzel{2x}=\wurzel{2}\cdot\wurzel{x}[/mm]
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ist ein konstanter Faktor, und eine
> Stammfuntion von [mm]y=\wurzel{x}[/mm] ist
> [mm]\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}.[/mm]
>
Kannst du mir den Zwischenschritt zum Ergebnis nochmal aufzeigen? Ich sehe gerade nicht, wie ich darauf kommen kann.
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Och Englein,
[mm] $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Dann mit der Potenzregel für das Integrieren bearbeiten
LG
schachuzipus
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> Och Englein,
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> [mm]\sqrt{2x}=2x^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> Dann mit der Potenzregel für das Integrieren bearbeiten
Ich meinte ja 2x unter der Wurzel.
Aber dies wäre doch: [mm] x^{3/2}*2/3, [/mm] oder nicht? Aber das stimmt ja nicht, es fehlt doch noch 1/2, oder? Und ich dachte da, dass es vllt eine inoffizielle Regel gibt die besagt, dass ich dann die Ableitung der inneren FUnktion nehme und den Kehrwert nehme.
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Hallo Englein,
da gibt es keine inoffizielle Regel.
Wenn Du allerdings eine Funktion integrieren sollst, die die Form
$ f'(g(x))*g'(x) $ hat, dann solltest Du schon die Kettenregel der Differentiationsrechnung wiedererkennen. Wo das nicht so deutlich ist, löst man die Aufgabe dann sehr wahrscheinlich durch Substition [mm] \a{}u=g(x).
[/mm]
Dein vorgeschlagener Weg geht doch nur, wenn die "innere Funktion" linear ist, und dann wendest Du ja auch nur die Kettenregel in umgekehrter Richtung an.
Ein anderes Beispiel:
[mm] \int{\sin{(5x+3)}}= [/mm] ?
Hier kannst Du Deine "Methode" anwenden. Achte aber darauf, dass sie hierbei schon nicht mehr funktioniert:
[mm] \int{\sin{(5x^{\red{2}}+3)}}= [/mm] ?
...und hier dann doch wieder in begründbar erweiterter Form über die Umkehrung der Kettenregel:
[mm] \int{\red{x}\sin{(5x^2+3)}}= [/mm] ?
Da fehlt zwar die erhoffte 10 vor dem ersten "x", aber das sollte ja kein Problem sein  .
Grüße,
reverend
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Gut, danke. Das hilft mir schon weiter, das erspart einem ja viel Arbeit.
Ich habe aber noch eine eher banale Frage. Ich habe mich schon einige WOchen nicht mehr genau mit Integralen beschäftigt und jetzt hänge ich ein wenig.
Wenn ich etwas von der Form [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] integrieren soll kann ich ja umschreiben als [mm] \bruch{1}{2x^{0,5}} [/mm] und schließlich zu [mm] 2x^{-1/2}
[/mm]
Dann erhöhe ich den Eponenten um 1, also habe ich da dann 1/2 stehen und ziehe dies dann als Kehrwert nach vorne, also 2/2=1, also [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Aber wie ist es bei geraden Eponenten wie bei
[mm] \bruch{5}{x^3}=f(x). [/mm] Ich bilde nun [mm] 5x^{-3} [/mm] und erhöhe um 1, also [mm] 5x^{-2} [/mm] und ziehe dies als Kehrwert wieder nach vorne, also [mm] \bruch{5}{\bruch{-1}{2}} [/mm] oder? Aber dann habe ich -10x^-2 und das stimmt ja nicht. Wo liegt der Denkfehler?
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Hallo Englein,
lern nicht zu viele Kochrezepte. Sie klappen nicht immer, wenn sich an den Zutaten etwas ändert. Dann müsstest Du zu jedem Rezept auch genau mitlernen, wann es angewandt werden darf.
Hier liegt es vielleicht nur an der Formulierung "den Kehrwert nach vorne ziehen". Genauer wäre: "mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren", oder "durch den neuen Exponenten teilen", wenn Du schon eine Rezeptformulierung brauchst.
Du aber teilst gerade durch den Kehrwert. Das ist mühsam und eigentlich nur das gleiche wie die Multiplikation mit dem "neuen" Exponenten, sicher aber nicht richtig.
Schau Dir nochmal die Potenzregel an und scroll bis unter den Beweis runter. Da steht die korrekte Fassung für die Integration.
Wenn Du den Zusammenhang verstanden hast, brauchst Du auch das Rezept nicht mehr, oder nur noch eine kleine Erinnerung. Eigentlich reicht es ja, die Potenzregel für die Differentiation zu können, dann kann man sie sich auch für die Integration jederzeit erschließen.
Genauso wie bei der Kettenregel...
Grüße,
reverend
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Aber wenn ich [mm] 2x^{1/2} [/mm] habe und die 2 mit dem Kehrwert, also 2 multipliziere, habe ich doch immernoch ein falsches Ergebnis, oder?
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Ja, immer noch falsch.
Du brauchst den Kehrwert des Exponenten nach der Integration.
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Habe ich doch.
[mm] 2x^{-1/2} [/mm] wird zu [mm] 2x^{1/2} [/mm] bis auf den Kehrwert, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Englein,
die 2 stand vorher im Nenner
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}}=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}=2^{\red{-1}}*x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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