konvergiert diese Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 28.03.2015 | | Autor: | kolja21 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}} [/mm] |
Ich würde sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft, wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe konvergieren.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}} [/mm] = 0+0 = 0
Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes, wenn ich "sum 1 to infinity [mm] (k+1)/(k^2)" [/mm] eingebe.
Ebenso, wenn ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}} [/mm] eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch offensichtlich, dass man [mm] \bruch{k}{k^{2}} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{k} [/mm] umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Sa 28.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}}[/mm]
> Ich würde
> sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft,
> wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe
> konvergieren.
nein. Das Nullfolgenkriterium ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
> = 0+0 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.
Damit hat Wolframalpha auch recht.
>
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch
Tut es auch.
> offensichtlich, dass man [mm]\bruch{k}{k^{2}}[/mm] zu [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu
> 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram
> Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?
Die harmonische Reihe:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$
[/mm]
ist das klassische Beispiel dafür, dass eine Reihe, die das Nullfolgenkriterium erfüllt divergieren kann.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 So 29.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
kann es sein, dass Du die Frage ![[]](/images/popup.gif) hier schonmal gestellt hast?
Die Ähnlichkeit der Beiträge ist doch verblüffend...
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 29.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
schau' mal hier:
https://matheraum.de/forum/Minorantenkriterium/t910667
oder hier:
https://matheraum.de/read?i=894819
Im Heuser, Analysis I, 14. Auflage findest Du unter 33.6 den erwähnten
Satz; ich bin der Meinung, dass dieser viel mehr gewürdigt werden sollte,
als es meist der Fall ist, daher will ich ihn hier kurz anwenden:
Wegen
[mm] $\frac{k+1}{k^2}\bigg/ \frac{1}{k} \to [/mm] 1 > 0$
hat obige Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 So 29.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm] = 0+0 = 0
achte auf die Indizes: [mm] $\lim_{\red{n} \to \infty}\frac{1}{\blue{k}}=0$, [/mm] da beißen sich n und k!
> Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.
>
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren.
Wenn Du in irgendeiner Analysis-Prüfung nicht weißt, dass die
Harmonische Reihe
divergiert und auch nicht weißt, warum sie divergiert, wirst Du es schwer
haben, sie noch zu bestehen!
Gruß,
Marcel
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