kubische Gleichungen numerisch < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an die Nutzer von Mathematica, Maple, Matlab etc !
Im Rahmen eines anderen Threads (***) (s.u.)
sind wir auf ein etwas seltsames Verhalten sowohl
von Mathematica als auch Maple bei der Lösung
einer kubischen Gleichung gestoßen.
Es ging dabei um die Auflösung der Gleichung
$ [mm] \blue{ x\ =\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}} [/mm] $
nach y , und zwar interessiert uns nur der Teil der
entsprechenden Kurve mit negativen y-Werten
(in der Zeichnung blau dargestellt).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die durch die Gleichung definierte Funktion [mm] y\mapsto [/mm] x
ist ja eine rationale Funktion, deren Graph aus
zwei getrennten "Ästen" besteht. Von diesen
interessiert uns nur derjenige, der ganz unterhalb
der x-Achse des Koordinatensystems (x-Achse
nach rechts, y-Achse nach oben) liegt.
Dieser Ast für sich allein betrachtet entspricht
einer bijektiven Abbildung - es muss also eine
(monoton wachsende, differenzierbare) Umkehr-
funktion existieren.
Die algebraische Auflösung der kubischen Gleichung
mittels der Formeln von Cardano ist ziemlich auf-
wändig - aber dafür gibt es ja die Computeralgebra-
Systeme wie eben Mathematica, Maple etc.
Mathematica liefert folgende Lösung (korrig. Fassung) :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zuerst dachte ich, dass von den drei angegebenen
Lösungen nur die erste in Frage komme, in der
gar keine imaginären Anteile erscheinen und weil
der blaue Kurventeil ja eine durchgehende Kurve
mit lauter reellen Werten ist.
Beim nachfolgenden Plotten und bei der Darstel-
lung von Wertetabellen erkannte ich jedoch, dass
da irgendetwas nicht stimmen konnte. Und son-
derbarerweise kamen bei mehrmaliger Durchführung
gar nicht immer dieselben Plots bzw. Tabellenwerte
heraus.
Es scheint, dass man den Bereich [mm] \IR [/mm] der x-Werte
unterteilen und dann verschiedene Formeln an-
wenden muss - oder doch nicht ... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich will mal gar nicht mehr sagen, obwohl ich
ein paar Ideen habe, woran es liegen könnte.
Probiert das Ganze doch mal mit eurer eigenen
Software aus ...
Bin gespannt auf eure Beobachtungen ...
(***) zum ursprünglichen Thread:
(1)
(2)
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
ich bin jetzt mal faul, und außer Matlab/Octave könnte ich auf die Schnelle
das Verhalten da gar nicht kontrollieren. Aber mal eine Frage:
> Hallo an die Nutzer von Mathematica, Maple, Matlab etc !
>
> Im Rahmen eines anderen Threads (***) (s.u.)
> sind wir auf ein etwas seltsames Verhalten sowohl
> von Mathematica als auch Maple bei der Lösung
> einer kubischen Gleichung gestoßen.
> Es ging dabei um die Auflösung der Gleichung
>
> [mm]\blue{ x\ =\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}}[/mm]
>
> nach y , und zwar interessiert uns nur der Teil der
> entsprechenden Kurve mit negativen y-Werten
> (in der Zeichnung blau dargestellt).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die durch die Gleichung definierte Funktion [mm]y\mapsto[/mm] x
> ist ja eine rationale Funktion, deren Graph aus
> zwei getrennten "Ästen" besteht. Von diesen
> interessiert uns nur derjenige, der ganz unterhalb
> der x-Achse des Koordinatensystems (x-Achse
> nach rechts, y-Achse nach oben) liegt.
> Dieser Ast für sich allein betrachtet entspricht
> einer bijektiven Abbildung - es muss also eine
> (monoton wachsende, differenzierbare) Umkehr-
> funktion existieren.
Hast Du denn nicht mal einfach analytisch mit den Formeln von Cardano
selbst die Umkehrfunktion Deiner Funktion
$$y [mm] \mapsto -y^2-y-\frac{1}{y}$$
[/mm]
ausgerechnet?
Gruß,
Marcel
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> Hast Du denn nicht mal einfach analytisch mit
> den Formeln von Cardano selbst die Umkehr-
> funktion Deiner Funktion [mm]y \mapsto -y^2-y-\frac{1}{y}[/mm]
> ausgerechnet?
Nein, dafür war ich heute etwas zu faul ...
Aber Mathematica wendet ja zur Lösung kubischer
Gleichungen genau diese Formeln an und kann
dies wohl, was die pingelige Ausführung angeht,
schon besser als ich.
Das Problem scheint mir nur bei der richtigen
Zuordnung der jeweiligen (komplexen !) Wurzel-
werte zu liegen. Dabei sind eigentlich Fallunter-
scheidungen je nach den (positiven oder negativen)
Radikanden erforderlich. Trotz den Voraussetzungen
(Assumptions)
$\ [mm] x\in Reals\quad ,\quad y\in Reals\quad [/mm] , [mm] \quad [/mm] y<0$
welche ich beim Solve-Befehl eingebunden habe,
gehorcht mir aber da Mathematica nicht so, wie ich
es mir wünschen würde ... Es liefert auch echt
komplexe Lösungen - entgegen dem ausdrücklichen
Wunsch [mm] y\in\IR [/mm] !
Eigentlich wäre es schön, wenn wirklich für jedes
x dasjenige aus den möglichen (komplexen) [mm] y_i
[/mm]
ausgewählt würde, das reell und negativ ist !
Aber das sind wohl doch etwas hochgestochene
Ansprüche an ein CAS ... aber Wolfram sieht sich
in solchen Dingen ja schon längst als Weltmeister. 
Vielleicht melde ich mich mal bei Stephen ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi
> Mathematica liefert folgende Lösung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
In einem anderen Thread hast Du als Lösung aber
[mm] $y:=-\frac{1}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot (-1+3\cdot x)}{3\cdot (29-9\cdot x+3\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{31-18\cdot x-x^2+4\cdot x^3})^{\frac{1}{3}}}-\frac{(29-9\cdot x+3\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{31-18\cdot x-x^2+4\cdot x^3})^\frac{1}{3}}{3\cdot 2^{\frac{1}{3}}}$
[/mm]
angegeben. Und das ist auch das, mit dem es bei
mir funktioniert.
P.S.: Entschuldigung, dass [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] im rechten Nenner nicht
ganz im Exponenten steht. Da ist wohl etwas schiefgelaufen.
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
Gruß
Kai
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> > Mathematica liefert folgende Lösung:
> .....
> Hoppla, müsste es da nicht heißen :
> [mm]Solve[x==-y^2-y-\frac{1}{y},y][/mm]?
Oh ja, klar ...
Ich habe wohl schon ein wenig zu viel (und nicht
immer mit voller Sorgfalt ...) rumprobiert. Werde
das korrigieren. Zuerst dachte ich, es sei nur eine
andere mögliche Form desselben Ergebnisses.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Mathematica liefert folgende Lösung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Hoppla, müsste es da nicht heißen :
[mm] $Solve[x==-y^2-y-\frac{1}{y},y]$?
[/mm]
>
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> >
> > Mathematica liefert folgende Lösung:
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
>
> Hoppla, müsste es da nicht heißen :
> [mm]Solve[x==-y^2\red{\;-y\;}-\frac{1}{y},y][/mm]?
joa, das sehe ich auch so:
Al hat anscheinend bei der Funktionsangabe in Mathematica das von mir
rotmarkierte [mm] $\,-\,y\,$ [/mm] vergessen ^^
P.S. Was ist eigentlich die rote Kurve bei Al? Sie kann ja keine Funktion
darstellen... (edit: ich meinte, dass sie keine Funktion [mm] $\textbf{ in }\mathbf{x}$ [/mm]
darstellen könnte - da war ich eben ungenau!) Wo kommt sie her?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
die rote Kurve ist der Ast für $y>0$.
D.h. die Umkehrfunktion von [mm] $x=-y^2-y-\frac{1}{y}$ [/mm] für $y>0$.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> die rote Kurve ist der Ast für [mm]y>0[/mm].
> D.h. die Umkehrfunktion von [mm]x=-y^2-y-\frac{1}{y}[/mm] für
> [mm]y>0[/mm].
häh? Inwiefern meinst Du das? In der Darstellung ist dann aber auch [mm] $x\,$
[/mm]
als Funktion von [mm] $y\,$ [/mm] zu lesen, also entprechend, wie bei der Ausgangsfunktion
ja [mm] $x=x(y)=-y^2-y-\frac{1}{y}$ [/mm] ist - oder?
Denn - und da hatte ich mich eben schlecht bzw. ungenau ausgedrückt -
die rote Kurve zeigt sicher keine Funktion in [mm] $x\,.$
[/mm]
P.S. Macht ja auch dann irgendwie Sinn - mich verwirrt hier gerade nur ein
wenig die Darstellung, dass [mm] $x=x(y)\,$ [/mm] "im normalen [mm] $x\,$-$y\,$-Koordinatensystem"
[/mm]
geplottet wird ^^ Danke nochmal! Ich glaube, dass ich da ein wenig
"Umstellungsprobleme" hatte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
Ich weiß nur, wenn ich $y>0$ wähle und das dann
im Plot gegen x auftrage, so entsteht der rote Ast.
Besser Du lässt Dir das von Al-Chwarizmi genauer
erklären!
> Denn - und da hatte ich mich eben schlecht bzw. ungenau
> ausgedrückt -
> die rote Kurve zeigt sicher keine Funktion in [mm]x\,.[/mm]
>
Nein, das tut sie nicht.
> Gruß,
> Marcel
Gruß
Kai
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> - mich verwirrt hier gerade nur ein
> wenig die Darstellung, dass [mm]x=x(y)\,[/mm] "im normalen
> [mm]x\,[/mm]-[mm]y\,[/mm]-Koordinatensystem"
> geplottet wird ^^ Danke nochmal! Ich glaube, dass ich da
> ein wenig "Umstellungsprobleme" hatte!
Ja, dieses kleine Umstellungsproblem hatte ich selber
eigentlich schon bei der ursprünglichen Frage nach einer
Kurvengleichung, welche vom Lehrer von Estroy (nicht
Nestroy und auch nicht Destroy, sondern wirklich "Estroy")
stammt ... ich fragte mich damals schon, weshalb die
Kurve irgendwie so ganz "verkehrt" gezeichnet werden
soll - mit so vielen Minuszeichen als es nur geht ...
LG , Al
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> P.S. Was ist eigentlich die rote Kurve bei Al? Sie kann ja
> keine Funktion
> darstellen... (edit: ich meinte, dass sie keine Funktion
> in x darstellen könnte - da war ich eben ungenau!)
> Wo kommt sie her?
Hi Marcel,
das ist eben der restliche Teil der Kurve mit der Gleichung
$\ x\ =\ [mm] -y^2\ [/mm] -\ y\ -\ [mm] \frac{1}{y}$ [/mm] (für positive y)
Dass ich die Achsen so gelegt habe, hat mit der ursprüng-
lichen Aufgabe aus dem früheren Thread zu tun.
Hätte ich plötzlich Achsen (und Bezeichnungen) vertauscht,
wäre dies verwirrender geworden als es eh schon ist ...
Für die Betrachtung der Lösungen der kubischen Gleichung
(mittels Cardanischer Formeln) ist aber dieser andere Teil
der gesamten Kurve durchaus auch relevant. Schließlich
muss durch die Gesamtheit der jeweils maximal 3 reellen
Lösungswerte, welche diese Formeln liefern, wieder die
gesamte Kurve dargestellt werden.
LG , Al
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> Hoppla, müsste es da nicht heißen :
> [mm]Solve[x==-y^2-y-\frac{1}{y},y][/mm]?
(habe ich eben schon korrigiert; die Formeln erscheinen
jetzt auch in deiner Anfrage in der richtigen Fassung,
da ich das alte Attachment ersetzt habe)
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mi 10.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe das mal mit Mathcad ausprobiert. Das Ergebnis siehst Du hier.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: emf) [nicht öffentlich]
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> Hi,
>
> ich habe das mal mit Mathcad ausprobiert. Das Ergebnis
> siehst Du hier.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Genau. Danke für dein Experiment !
Ein derartiges Bild habe ich auch schon produziert.
Es kommt aber noch darauf an, auf welche Weise
die Wurzelwerte wirklich eingesetzt werden.
In einer Version, in der ich ausdrücklich dafür
sorgte, dass für Kubikwurzeln aus reellen Werten
wirklich nur reelle Wurzelwerte benützt werden,
also durch die Festsetzung
$\ [mm] \mbox{\Large{CubicRoot [x]:=\ \ If\,[\,x\ge 0\, ,\ x^{1/3}\ ,\ -(-x)^{1/3}\,]}}$
[/mm]
schaute zwar auch eine Kurve heraus, die aus
Teilen der ganzen Kurve bestand - aber aus anderen
als jenen, welche ohne diesen Eingriff entstehen ...
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Do 11.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
also ich habe folgende Beobachtung gemacht :
wenn ich [mm] $-(-y)^2-(-y)-(\frac{1}{-y})=-y^2+y+\frac{1}{y}$
[/mm]
von Maple umkehren lasse und es mit minus 1
multipliziere,bekomme ich genau den blauen Ast.
Könnte das mit Maples Berechnung von dritten Wurzeln
zu tun haben?
Bisher musste ich eine piecewise-Unterscheidung
zwischen [mm] $x<\frac{1}{3}$ [/mm] und [mm] $x>\frac{1}{3}$ [/mm] machen. Bei obiger
Vorgehensweise ist das nicht der Fall.
Gruß
Kai
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Hallo Algebraiker, Numeriker und Programmierer !
Im Zusammenhang mit diesen Fragen habe ich mir mal
(wieder) die Zeit genommen, um mir ein eigenes,
möglichst knapp gefasstes Programm zu erstellen,
welches die "Cardanischen Formeln" umsetzt, also
ein Programm, das auf die Eingabe der (reellwertigen !)
Koeffizienten a, b, c und d einer kubischen Gleichung
$\ [mm] a*x^3\,+\, b*x^2\,+\, c*x\,+\, [/mm] d\ =\ 0$
alle zugehörigen (reellen und komplexen) Lösungen
[mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] (nicht notwendigerweise alle verschieden)
berechnet und ausgibt.
Ich ging dabei von einer der möglichen Fassungen
der Formeln aus und feilte dann aber an dem ent-
standenen Programm so lange herum, bis es so
knapp und übersichtlich war, wie ich Programme
eben am liebsten mag. Dabei habe ich einzelne
Variablen etwas anders definiert, als sie in der
benützten ![[]](/images/popup.gif) Quelle "Lösung kubischer Gleichungen"
von einem gewissen Alf Krause (TU Freiberg)
(nach meiner Ansicht sehr empfehlenswert !)
und anderen Versionen der Formeln vorkommen.
Das Programm, mit dem ich nun ziemlich zufrieden
bin, möchte ich nun denen unter euch, die sich dafür
interessieren, gerne zur Verfügung stellen - allerdings
nicht als runterladbares Programm, sondern "nur"
als Programmtext (und zwar nur den eigentlichen
Kern des Programms ohne Variablendeklarationen
etc.). Es programmieren wohl nur noch wenige in
Pascal, aber jeder, der in einer anderen Umgebung
programmiert, kann den Programminhalt sicher
trotzdem sehr gut verstehen.
Dieser Programmkern sieht so aus:
BEGIN
Input; {INPUT: a , b , c , d }
p:= [mm] $\blue{b^2-3*a*c} [/mm] ;
q:= [mm] $\blue{9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3} [/mm] ;
D:= [mm] $\blue{q^2-4*p^3} [/mm] ;
if D<0 then begin
w := 2 *sqrt(p);
k := 4 *q / [mm] $\blue{w^3} [/mm] ;
psi := arccos(k)/3;
y[1]:= w *cos(psi);
y[2]:= w *cos(psi+delta);
y[3]:= w *cos(psi-delta);
end
else begin
r := sqrt(D) ;
u := cubrt((q+r)/2);
v := cubrt((q-r)/2);
s := (u+v)/2;
t := (u-v) *sqrt(3)/2;
y[1]:= 2 *s;
y[2]:= -s+t *iunit;
y[3]:= -s-t *iunit;
end;
for i:= 1 to 3 do x[i]:=(y[i]-b)/(3*a);
Output {OUTPUT: x[1] , x[2] , x[3]}
END.
Folgende Hinweise sind noch nötig:
[mm] \bullet [/mm] delta = [mm] \frac{2*\pi}{3}
[/mm]
[mm] \bullet [/mm] iunit = i (imaginäre Einheit)
[mm] \bullet [/mm] cubrt (für "cubic root") ist die auf ganz [mm] \IR [/mm]
definierte Umkehrfunktion der Kubikfunktion [mm] $x\mapsto x^3$
[/mm]
Beispielsweise ist cubrt(-8) = -2 . Dies entspricht
natürlich für negative a nicht der sonst üblichen
Definition von [mm] $\sqrt[3]{a}$ [/mm] (diese wird ja in [mm] \IR
[/mm]
überhaupt nicht definiert, und beim Rechnen im
Komplexen setzt man z.B. [mm] $\sqrt[3]{-8}\ [/mm] =\ [mm] 1\,+i\,*\sqrt{3} [/mm] $ ) !
Es scheint mir nun durchaus möglich, dass bei
unterschiedlichen Implementierungen der Cardanischen
Formeln die dabei gelieferten Lösungen [mm] x_1, x_2, x_3
[/mm]
nicht unbedingt eins-zu-eins (inklusive Nummerierung !)
vergleichbar sind.
Das obige Programm rechnet eigentlich rein reell,
denn die Real- und Imaginärteile werden strikt
separat voneinander berechnet. Es werden z.B. keine
Wurzeln aus echt komplexen Zahlen (mit Im(z) [mm] \not= [/mm] 0)
gebildet. Im Gegensatz dazu arbeitet vermutlich
Mathematica mit einer Formel, in der die Koeffizienten
der gegebenen kubischen Gleichung nicht reell sein müssen.
Dabei geht man innerhalb der Rechnungen andere Wege.
Ich vermute nun, dass genau dies die Ursache der z.T.
etwas seltsamen Beobachtungen sein kann. Beispiels-
weise zeigte Mathematica in der Umgebung der Stelle
$\ x\ =\ [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] , bei der man für den (zusammenhängenden)
reellen Kurvenast mit negativen y von einer Lösungsformel
auf die andere "umsteigen" muss, wilde Schwankungen
sowohl bei den Real- wie den Imaginärteilen. Im Plot
sah das dann grotesk aus. Ich denke, dass der Grund
für diese extremen Schwankungen in Rundungsfehlern
zu suchen ist, welche sich beim Rechnen im Komplexen
ergeben können (durch Ausdrücke mit so kleinen
Nennern, dass es zu Auslöschungseffekten kommt).
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Fr 12.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Dieser Programmkern sieht so aus:
>
>
> BEGIN
>
> Input; {INPUT: a , b , c , d }
>
> p:= [mm]$\blue{b^2-3*a*c}[/mm] ;
> q:= [mm]$\blue{9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3}[/mm] ;
> D:= [mm]$\blue{q^2-4*p^3}[/mm] ;
>
> if D<0 then begin
> w := 2 *sqrt(p);
> k := 4 *q / [mm]$\blue{w^3}[/mm] ;
> psi := arccos(k)/3;
> y[1]:= w *cos(psi);
> y[2]:= w *cos(psi+delta);
> y[3]:= w *cos(psi-delta);
> end
>
> else begin
> r := sqrt(D) ;
> u := cubrt((q+r)/2);
> v := cubrt((q-r)/2);
> s := (u+v)/2;
> t := (u-v) *sqrt(3)/2;
> y[1]:= 2 *s;
> y[2]:= -s+t *iunit;
> y[3]:= -s-t *iunit;
> end;
>
> for i:= 1 to 3 do x:=(y-b)/(3*a);
>
> Output {OUTPUT: x[1] , x[2] , x[3]}
>
> [i][i]END.[/i][/i][/blue]
>
>
> Folgende Hinweise sind noch nötig:
>
> [mm]\bullet[/mm] delta = [mm]\frac{2*\pi}{3}[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] iunit = i (imaginäre Einheit)
>
> [mm]\bullet[/mm] cubrt (für "cubic root") ist die auf ganz [mm]\IR[/mm]
> definierte Umkehrfunktion der Kubikfunktion [mm]x\mapsto x^3[/mm]
>
> Beispielsweise ist cubrt(-8) = -2 . Dies entspricht
> natürlich für negative a nicht der sonst üblichen
> Definition von [mm]\sqrt[3]{a}[/mm] (diese wird ja in [mm]\IR[/mm]
> überhaupt nicht definiert, und beim Rechnen im
> Komplexen setzt man z.B. [mm]\sqrt[3]{-8}\ =\ 1\,+i\,*\sqrt{3}[/mm]
> ) !
>
> Es scheint mir nun durchaus möglich, dass bei
> unterschiedlichen Implementierungen der Cardanischen
> Formeln die dabei gelieferten Lösungen [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]
>
> nicht unbedingt eins-zu-eins (inklusive Nummerierung !)
> vergleichbar sind.
> Das obige Programm rechnet eigentlich rein reell,
> denn die Real- und Imaginärteile werden strikt
Ich verstehe nicht, wie Du iunit so definierst, dass Real- und
Imaginärteil seperat behandelt werden.
Ich benutze dazu immer eine Klasse für komplexe Zahlen.
> separat voneinander berechnet. Es werden z.B. keine
> Wurzeln aus echt komplexen Zahlen (mit Im(z) [mm]\not=[/mm] 0)
> gebildet. Im Gegensatz dazu arbeitet vermutlich
> Mathematica mit einer Formel, in der die Koeffizienten
> der gegebenen kubischen Gleichung nicht reell sein
> müssen.
> Dabei geht man innerhalb der Rechnungen andere Wege.
> Ich vermute nun, dass genau dies die Ursache der z.T.
> etwas seltsamen Beobachtungen sein kann. Beispiels-
> weise zeigte Mathematica in der Umgebung der Stelle
> [mm]\ x\ =\ \frac{1}{3}[/mm] , bei der man für den
> (zusammenhängenden)
> reellen Kurvenast mit negativen y von einer
> Lösungsformel
> auf die andere "umsteigen" muss, wilde Schwankungen
> sowohl bei den Real- wie den Imaginärteilen. Im Plot
> sah das dann grotesk aus. Ich denke, dass der Grund
> für diese extremen Schwankungen in Rundungsfehlern
> zu suchen ist, welche sich beim Rechnen im Komplexen
> ergeben können (durch Ausdrücke mit so kleinen
> Nennern, dass es zu Auslöschungseffekten kommt).
>
>
> LG , Al-Chwarizmi
Gruß
Kai
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> Ich verstehe nicht, wie Du iunit so definierst, dass Real-
> und
> Imaginärteil seperat behandelt werden.
>
> Ich benutze dazu immer eine Klasse für komplexe Zahlen.
Guten Abend Kai ,
mit "Klassen" etc. muss ich mich in Pascal gar nicht
herumschlagen. Ich habe aber x[...] und y[...] als
"array of complex" und alle übrigen Variablen als
"real" deklariert. Diesen Unterschied muss ich schon
machen - aber ich wollte den Kerngehalt des
Programms gar nicht mit diesen Details angeben.
Das Programm funktioniert aber genau so wie es
da steht als Hauptblock des Programms. Die Konstante
iunit ist in der Version von Pascal, die ich seit wohl
20 Jahren benütze ("TOP-Pascal") fest implementiert
(als die komplexe Zahl iunit mit iunit.re=0 und iunit.im=1).
Da muss ich selber also gar nichts zusätzlich definieren.
Separat definiert habe ich in einer simplen Funktions-
deklaration nur die Funktion "cubrt". Und natürlich die
Konstante delta für den 120°-Winkel.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Fr 12.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Ich habe vor 18 Jahren mal in Turbo Pascal von Borland
programmiert, hatte da aber nichts mit komplexen
Zahlen zu tun.
> mit "Klassen" etc. muss ich mich in Pascal gar nicht
> herumschlagen. Ich habe aber x[...] und y[...] als
> "array of complex" und alle übrigen Variablen als
Das sagt mir dann natürlich etwas. Aber da bleibt mir
die Frage, woher Pascal weiss, wie -s+t *iunit zu
berechnen ist. Ist das auch in TOP-Pascal hard-coded?
> "real" deklariert. Diesen Unterschied muss ich schon
> machen - aber ich wollte den Kerngehalt des
> Programms gar nicht mit diesen Details angeben.
> Das Programm funktioniert aber genau so wie es
> da steht als Hauptblock des Programms. Die Konstante
Du meinst, ich kann es ohne weiteres nach C++ umschreiben?
> iunit ist in der Version von Pascal, die ich seit wohl
> 20 Jahren benütze ("TOP-Pascal") fest implementiert
> (als die komplexe Zahl iunit mit iunit.re=0 und
> iunit.im=1).
> Da muss ich selber also gar nichts zusätzlich
> definieren.
> Separat definiert habe ich in einer simplen Funktions-
> deklaration nur die Funktion "cubrt". Und natürlich die
> Konstante delta für den 120°-Winkel.
ok. Danke für die Info.
>
> LG , Al-Chw.
>
>
Gruß
Kai
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Ich habe vor 18 Jahren mal in Turbo Pascal von Borland
> programmiert, hatte da aber nichts mit komplexen
> Zahlen zu tun.
Dieser Typ war in Turbo wohl wirklich noch nicht
fest implementiert.
Turbo Pascal hatten wir damals auch eine Zeitlang an
unserer Schule auf den ersten "Kästchen-Macs".
Mir gefiel aber dann sehr, wie komfortabel
im Vergleich dazu das Arbeiten in der TOP-Pascal-Umgebung
mit Mac-angepasstem Editor (und Text- und Grafik-Fenster
und Grafik-Routinen für Punkte, Strecken, Kreise, Rechtecke,
Polygone, Farbdefinitionen, Strichdicken etc.) war.
Heute ist das natürlich alles kalter Kaffee, aber für uns
kam dies damals einer Revolution gleich.
Es gibt dort für Zahlen die Typen Integer, Longint, Real,
Großzahl, Bruchzahl und Complex.
Werden nun z.B. eine Real- und eine Complex-Variable
verknüpft , wird das Ergebnis automatisch komplex und
kann natürlich auch nur in einer Variablen dieses Typs
gespeichert werden. Genau diese Eigenschaft der
Software mache ich mir im vorliegenden Programm
zunutze, etwa in der Zeile
$\ [mm] \underbrace{y[2]}_{complex}:=\ -\underbrace{s}_{real}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{t}_{real}\ [/mm] *\ [mm] \underbrace{iunit}_{complex}$ [/mm]
> > Mit "Klassen" etc. muss ich mich in Pascal gar nicht
> > herumschlagen. Ich habe aber x[...] und y[...] als
> > "array of complex" und alle übrigen Variablen als
> > "real" definiert.
>
> Das sagt mir dann natürlich etwas. Aber da bleibt mir
> die Frage, woher Pascal weiss, wie -s+t *iunit zu
> berechnen ist. Ist das auch in TOP-Pascal hard-coded?
Ja. Wie gesagt: symbolisch notiert ist
[mm] $\underbrace{iunit}_{complex}\ [/mm] =\ record\ (\ [mm] \underbrace{ iunit.re}_{real}\ [/mm] =\ 0\ ;\ [mm] \underbrace{iunit.im}_{real}\ [/mm] =\ 1\ )$
> Du meinst, ich kann es ohne weiteres nach C++ umschreiben?
Ich denke, das sollte ohne Weiteres möglich sein !
Gruß und good night 
Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe das Problem mal anders angeschaut und x als Funktion von y betrachtet und dann geplottet. Der Vorteil, man muss diese kubische Gleichung nicht lösen und man kann den Bereich auf der y-Achse vorgeben wie man will. In dem Bild ist es so, dass die Blaue Kurve für y>0 und die Rote für y<0 entstanden ist.
Hier mal die Plots.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Noch ein Nachtrag, auch wenn ich die kubische Gleichung löse, hat Mathcad an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] kein Problem, so wie von Al geschildert.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hi,
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> ich habe das Problem mal anders angeschaut und x als
> Funktion von y betrachtet und dann geplottet. Der Vorteil,
> man muss diese kubische Gleichung nicht lösen und man kann
> den Bereich auf der y-Achse vorgeben wie man will. In dem
> Bild ist es so, dass die Blaue Kurve für y>0 und die Rote
> für y<0 entstanden ist.
Naja, darum ging es ja gar nicht, bzw. diese Einsicht
hatten wir zu Anfang schon. Es ging überhaupt nicht
um die Frage: "wie zeichne ich diese Kurve ?" (dies
machte ich von Anfang an ausgehend von der gegebenen
Darstellung $\ [mm] y\mapsto\ [/mm] x\ =\ [mm] -y^2-y-\frac{1}{y}$ [/mm] , ohne die Gleichung
nach y aufzulösen).
Die Frage war: "weshalb liefert Mathematica (wenn ich
dann trotzdem die kubische Gleichung via Cardano
und CAS löse und die 3 Lösungsformeln einzeln plotte)
nicht in jedem Fall (aber zwischendurch dann
trotzdem wieder mal !!) den kompletten unteren Kurvenast
aus einem einzigen der drei erscheinenden
Lösungsterme ?"
> Noch ein Nachtrag, auch wenn ich die kubische Gleichung
> löse, hat Mathcad an der Stelle [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm] kein
> Problem, so wie von Al geschildert.
Wie ebenfalls schon gesagt: ich habe (mit Mathematica)
leicht verschiedene Wege durchgeführt und dabei ging
es einigemale nur mit dem Unterbruch, andere Male
aber auch ohne Unterbruch bei x=1/3 , also glatt und
aus einer einzigen Lösungsformel z.B. für [mm] y_1[x] [/mm] die
gesamte Kurve. Dieses unterschiedliche Verhalten in
verschiedenen Läufen war das Eigenartige ...
LG , Al-Chw.
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Hallo an diesem ersten "richtigen" Frühlingstag !
Endlich habe ich die genaue Quelle der irritierenden
Erscheinung lokalisieren können. Nachdem ich mein
eigenes "Cardano" - Programm auch noch in
Mathematica umgesetzt und dann damit ein wenig
gespielt, Tabellen erstellt und geplottet habe, wurde
plötzlich klar, dass es wirklich nur um die Reihen-
folge geht, in welcher die 3 Lösungen der kubischen
Gleichung z.B. in Mathematica selbst (welches für
die Darstellung der Lösungen kubischer Gleichungen
sogenannte "Root-Objekte" benützt), aber jetzt
auch in meinem eigenen Programm (welches intern
nur reell rechnet) in der Liste der Lösungen
angeordnet werden. Diese Reihenfolge kann z.B.
auch davon abhängig sein, ob man die Koeffizienten
a,b,c,d einer kubischen Gleichung wie der vorliegenden
$\ [mm] -1*y^3-1*y^2-x*y-1\ [/mm] =\ 0$
direkt abliest oder aber zuerst die ganze Gleichung mit
-1 multipliziert:
$\ [mm] 1*y^3+1*y^2+x*y+1\ [/mm] =\ 0$
und dann die Koeffizienten abliest und in die Formeln
einspeist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 14.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
tja, das ist ja mal abgefahren. Ich habe dein Cardano
um einen Plotter erweitert und konnte das merkwürdige
Verhalten - nicht der Software, sondern der Formel selbst?
- eins-zu-eins reproduzieren.
Legende der oberen Graphiken :
rot = die rein-reelle Lösung
grün = der Realteil der zweiten Lösung
blau = der Realteil der dritten Lösung
Die linke Graphik wird generiert als Lösung von
Cardano(1, 1, x, 1). Dort kommt es zum Unterbruch
an der kritischen Stelle [mm] (x\approx-2.6107).
[/mm]
Die rechte Graphik wird generiert als Lösung von
Cardano(-1, -1, -x, -1). Wie Du siehst läuft da alles
glatt.
Legende der unteren Graphik :
rot = der Imaginärteil der reellen Lösung (natürlich = 0)
grün = der Imaginärteil der zweiten Lösung
blau = der Imaginärteil der dritten Lösung
Seltsamerweise verläuft der Imaginärteil bei
Cardano(1, 1, x, 1) und Cardano(-1, -1, -x, -1)
gleich. Ich nehme an, dass das einen ganz
einfachen Grund hat.
Was anderes :
Könnte es sein, dass der Unterbruch dort entsteht, wo
die drei rein-reellen Lösungen umkippen in eine rein-reelle
und zwei komplexe Lösungen?
Ich werde dem mal auf die Spur gehen...
So! Hab das mal gerade gecheckt. Scheint tatsächlich der
Fall zu sein. Jedenfalls für Cardano(1, 1, x, 1). Bei
Cardano(-1, -1, -x, -1) findet auch ein solcher Wechsel statt
ohne dass es zum Unterbruch kommt. Da ist halt nur die
Reihenfolge bei den drei reellen Lösungen anders.
Gruß
Kai
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> tja, das ist ja mal abgefahren. Ich habe dein Cardano
> um einen Plotter erweitert und konnte das merkwürdige
> Verhalten - nicht der Software, sondern der
Formel selbst? (***)
> - eins-zu-eins reproduzieren.
>
> Legende der oberen Graphiken :
> rot = die rein-reelle Lösung
> grün = der Realteil der zweiten Lösung
> blau = der Realteil der dritten Lösung
>
> Die linke Graphik wird generiert als Lösung von
> Cardano(1, 1, x, 1). Dort kommt es zum Unterbruch
> an der kritischen Stelle [mm](x\approx-2.6107).[/mm]
>
> Die rechte Graphik wird generiert als Lösung von
> Cardano(-1, -1, -x, -1). Wie Du siehst läuft da alles
> glatt.
>
> Legende der unteren Graphik :
> rot = der Imaginärteil der reellen Lösung (natürlich =
> 0)
> grün = der Imaginärteil der zweiten Lösung
> blau = der Imaginärteil der dritten Lösung
>
> Seltsamerweise verläuft der Imaginärteil bei
> Cardano(1, 1, x, 1) und Cardano(-1, -1, -x, -1)
> gleich. Ich nehme an, dass das einen ganz
> einfachen Grund hat.
>
> Was anderes :
> Könnte es sein, dass der Unterbruch dort entsteht, wo
> die drei rein-reellen Lösungen umkippen in eine
> rein-reelle
> und zwei komplexe Lösungen?
>
> Ich werde dem mal auf die Spur gehen...
>
> So! Hab das mal gerade gecheckt. Scheint tatsächlich der
> Fall zu sein. Jedenfalls für Cardano(1, 1, x, 1). Bei
> Cardano(-1, -1, -x, -1) findet auch ein solcher Wechsel
> statt
> ohne dass es zum Unterbruch kommt. Da ist halt nur die
> Reihenfolge bei den drei reellen Lösungen anders.
>
> Gruß
> Kai
Hallo Kai ,
Sehr schöne Grafiken ! Danke dafür.
Und ja, natürlich liegen die "Tripelpunkte" (ich denke,
es gibt insgesamt 3 davon) an den Stellen, wo reelle
Äste sich ins imaginäre Jenseits verabschieden - und
umgekehrt. Ich habe gerade versucht, mir das Ganze
im Raum [mm] \IC\times\IC [/mm] (bzw. in einem [mm] \IR^4 [/mm] mit einem
s-t-u-v - Koordinatensystem) vorzustellen.
Idee: x:=s+i*t und y:=u+i*v setzen !
In diesem [mm] \IR^4 [/mm] beschreibt die Gleichung eine zwei-
dimensionale Fläche 3. Ordnung. Diese Fläche schneidet
sich z.B. mit der s-t-Ebene in der Kurve aus zwei Ästen,
die wir ja bisher vor allem betrachtet haben.
Analog könnte man natürlich auch andere Schnitt-
kurven betrachten.
Nur habe ich leider doch noch nicht die richtigen
4D - Augen ...
(***)
Es sieht so aus, dass man die Formeln in unter-
schiedlicher Weise aufstellen kann und dass dann
auch die Kurven unterschiedlich "zerlegt" werden.
Dabei spielt auch die Auswahl der 3. Wurzel aus
3 im Komplexen eigentlich "gleichberechtigten"
Möglichkeiten eine Rolle. In diesem Zusammenhang
dachte ich auch kurz an Galois ( ... nein, bestimmt
nicht an "Gauloises" ... )
LG , Al
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> Legende der unteren Graphik :
> rot = der Imaginärteil der reellen Lösung (natürlich =
> 0)
> grün = der Imaginärteil der zweiten Lösung
> blau = der Imaginärteil der dritten Lösung
>
> Seltsamerweise verläuft der Imaginärteil bei
> Cardano(1, 1, x, 1) und Cardano(-1, -1, -x, -1)
> gleich. Ich nehme an, dass das einen ganz
> einfachen Grund hat.
Mit "gleich verlaufend" meinst du da bestimmt
"spiegelbildlich bezüglich der Achse Im(...) = 0" .
Dass dies so sein muss, leuchtet ein, wenn man
sich klar macht: an jeder (reellen !) Stelle x , bei
der eine der 3 Lösungen [mm] y_i(x) [/mm] reell ist, müssen die
anderen beiden konjugiert komplex sein. Das liegt
daran, dass unsere vorliegende kubische Gleichung
lauter reelle Koeffizienten hat. Man kann sich das
z.B. durch Betrachtung der Auflösung der kubischen
Gleichung mittels Polynomdivision klar machen.
Bei einer "echt" komplexen kubischen Gleichung
wäre dies nicht mehr der Fall.
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Mo 15.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> Mit "gleich verlaufend" meinst du da bestimmt
> "spiegelbildlich bezüglich der Achse Im(...) = 0" .
Nein, das ist mir schon klar. Schließlich sind [mm] $y_2$ [/mm] und
[mm] $y_3$ [/mm] komplex konjugiert (wie "Cardano" zu entnehmen ist):
y[2]:=-s+t*unit;
y[3]:=-s-t*unit;
Ich habe mich nur gewundert, dass grüner und blauer
Ast nicht vertauscht werden, oder sich sonst etwas am
Ergebnis änderte wenn ich Cardano(-1, -1, -x, -1) statt
Cardano(1, 1, x, 1) berechne und den Imaginärteil betrachte.
> Das liegt
> daran, dass unsere vorliegende kubische Gleichung
> lauter reelle Koeffizienten hat. Man kann sich das
> z.B. durch Betrachtung der Auflösung der kubischen
> Gleichung mittels Polynomdivision klar machen.
>
> Bei einer "echt" komplexen kubischen Gleichung
> wäre dies nicht mehr der Fall.
ok. Ich werde eventuell mein Cardano dahingehend
modifizieren, dass es auch komplexe Koeffizienten
verarbeitet. Und dann schaue ich mir die Imaginärteile an.
EDIT : Ich schätze das gibt nichts. Leider. Eine solche
Implementierung scheitert schon an der Unterscheidung
"if (D<0)", die im Komplexen eben nicht auswertbar ist.
Und wie wäre "cubrot" im Komplexen zu definieren?
> Gruß und
>
> Al
>
>
Gruß
Kai
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> ok. Ich werde eventuell mein Cardano dahingehend
> modifizieren, dass es auch komplexe Koeffizienten
> verarbeitet. Und dann schaue ich mir die Imaginärteile
> an.
> EDIT : Ich schätze das gibt nichts. Leider. Eine solche
> Implementierung scheitert schon an der Unterscheidung
> "if (D<0)", die im Komplexen eben nicht auswertbar ist.
> Und wie wäre "cubrot" im Komplexen zu definieren?
Naja, das Programm "Cardano" ist eben wirklich
nur auf den Fall mit reellen Koeffizienten zuge-
schnitten.
Cardano bzw. seine Vorläufer, die die Methode
eigentlich erfunden haben, hatten ja auch noch
gar keine Ahnung von "komplexen Zahlen" ...
Insbesondere wollte ich mich auch nicht mit den
"Root-Objekten" herumschlagen müssen, wie
sie von Mathematica verwendet werden.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 15.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi
mir ist da noch etwas aufgefallen.
Seien [mm] $a,\quad b,\quad [/mm] c:=x$, und $d$ die Koeffizienten
der Potenzen der Variablen z in der kubischen
Gleichung [mm] $a\cdot z^3+b\cdot z^2+c\cdot [/mm] z+d=0$
Auflösen der Gleichung nach z ergibt drei
Lösungskurven, bei denen allerdings
Unterbruch vorherrscht (es sei denn
natürlich die Koeffizienten liegen bereits
in der "richtigen"(unterbruch-freien) Form vor).
Negiere ich nun die Koeffizienten der geraden
Potenzen, d.i. b und d ($0$ betrachte ich als gerade)
und multipliziere die Elemente der Lösungsmenge
mit minus 1, so erhalte ich eben diese Lösungskurven
(rechts von der kritischen Stelle zwischen $0$ und $5$
verlaufen der rote Ast und der blaue Ast gleich)
für a, b, c und d bis auf die Tatsache, dass es hier keinen
Unterbruch gibt.
Habe ich mich da irgendwo verrechnet? Habe
ich nur die Gültigkeit für ein Beispiel gezeigt,
(eigentlich habe ich mir mehrere Fälle angeschaut)
oder "verbirgt" sich da ein ganz trivialer
Zusammenhang?
Du hattest ja das Wegfallen des Unterbruches
für die Negation aller Koeffizienten gezeigt, aber
das hier scheint mir ein neuer Aspekt zu sein.
Gruß
Kai
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 18.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hi nochmal,
Ich untersuche die Auswirkung der Negation
bestimmter Koeffizienten mit anschließender
Multiplikation der Lösung mit minus 1.
Ich habe mir das zuerst mal für die ungerade
Potenz im Fall n=2 angeschaut :
[mm] $x^2+p*x+q=0$
[/mm]
[mm] $x_1=-\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{p^2-4*q}}{2}$
[/mm]
[mm] $x_2=-\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{p^2-4*q}}{2}$
[/mm]
Negation von p ergibt :
[mm] $x^2-p*x+q=0$
[/mm]
[mm] $x_1'=\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{p^2-4*q}}{2}$
[/mm]
[mm] $x_2'=\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{p^2-4*q}}{2}$
[/mm]
[mm] $-x_1'=x_2$
[/mm]
[mm] $-x_2'=x_1$
[/mm]
Die Lösungen sind die Gleichen, die
Reihenfolge ist vertauscht.
Jetzt schaue ich mir das mal für
die geraden Potenzen (anhand des Programmes
"Cardano" von Al-Chwarizmi) in n=3 an :
[mm] $a\cdot x^3-b\cdot x^2+c\cdot [/mm] x-d=0$
$p' = [mm] b^2-3\cdot a\cdot [/mm] c = p$
$q' = [mm] 9\cdot a\cdot b\cdot c-27\cdot a^2\cdot d-2\cdot b^3 [/mm] = -q$
$D' = [mm] q^2-4\cdot p^3 [/mm] = D$
(Also gehe ich in den if-Block mit (D < 0))
$w' = [mm] \sqrt{p} [/mm] = w$
$k' = 4 [mm] \cdot \frac{q'}{w'^3}= [/mm] -k$
$psi' = [mm] \frac{\arccos(k')}{3} =\frac{\pi-\arccos(k)}{3}$
[/mm]
...
Hier fehlt mir ein Zwischenschritt zur Begründung,
warum sich nur die Reihenfolge ändert.
...
$y[1] = [mm] -w\cdot [/mm] cos(psi')$
$y[2] = [mm] -w\cdot [/mm] cos(psi'+delta)$
$y[3] = [mm] -w\cdot [/mm] cos(psi'-delta)$
Gruß
Kai
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"Kästchen-Macs"