max. Def.bereich, Lösungsmenge < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [mm] \bruch{-12}{2x+4} \le [/mm] |3x-3| + 3x
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie die Lösungsmenge an. |
| Aufgabe 2 | | [mm] 2x^{3} [/mm] - 5x + 3 = 0 |
| Aufgabe 3 | | [mm] \wurzel{2x-5} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{3x-1} [/mm] |
Zu 1: Muss ich für den maximalen Definitionsbereich auch noch den Betrag irgendwie berücksichtigen? Oder reicht es, dass der Nenner [mm] \not= [/mm] 0 ist?
Muss ich bei der Lösungsmenge dann eine Fallunterscheidung durchführen?
Hier wäre der Betrag ja =0 für x=1, dementsprechend wäre das 1. Intervall [mm] (-\infty,-2) [/mm] da -2 die Nullstelle des Bruchs ist und das 2. Intervall (-2,1), 3. Intervall [mm] (1,\infty). [/mm]
Wie gebe ich im Allgemeinen die Lösungsmenge bei einer Ungleichung an? Wenn x [mm] \ge -\bruch{18}{12} [/mm] ist dann die Lösungsmenge [mm] \IL=(-\bruch{18}{12},\infty)?
[/mm]
Zu 2: Ist hier der maximale Definitionsbereich = [mm] \IR, [/mm] da Polynome auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig sind, oder ist es [mm] \IR\\{Nullstellen\} [/mm] Weiterhin: Wie löse ich das Polynom auf? Mit der Polynomdivision erhalte ich: [mm] 2x^{2}-3 \gdw [/mm] x = [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Zu 3: Für den Definitionsbereich würde ich einfach das Argument der Wurzeln > 0 berechnen. Also 2x-5 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{5}{2} [/mm] und 3x-1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{1}{3} \Rightarrow [/mm] D = [mm] \IR [/mm] \ [mm] {\bruch{5}{2},\bruch{1}{3}} [/mm] Wie sähe das in Intervallschreibweise aus? Muss ich bei Ungleichungen generell eher die Intervallschreibweise wählen?
Lösungsmenge: Wurzeln und Quadrate heben sich auf, deshalb kann ich doch die Wurzel wegfallen lassen und die 1 quadrieren, richtig? Hätte dann im Endeffekt x=-5 raus, also [mm] \IL={-5} [/mm] In Intervallschreibweise wäre das dann [mm] (-\infty,-5),(-5,\infty) [/mm] oder?
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Hallo strawberryjaim!
> [mm]\wurzel{2x-5}[/mm] = [mm]1+\wurzel{3x-1}[/mm]
> Zu 3: Für den Definitionsbereich würde ich einfach das
> Argument der Wurzeln > 0 berechnen. Also 2x-5 > 0 [mm]\gdw[/mm] x >
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] und 3x-1 > 0 [mm]\gdw[/mm] x > [mm]\bruch{1}{3} \Rightarrow[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bedenke, dass auch [mm] $\wurzel{\text{irgendwas}} [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ definiert ist.
Deine beiden Nebenrechnungen müssen also $2x-5 \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ bzw. $3x-1 \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ lauten.
Und welche Bedingung / welche Ungleichung erfüllt dann beide Ungleichungen gleichermaßen?
> Lösungsmenge: Wurzeln und Quadrate heben sich auf,
> deshalb kann ich doch die Wurzel wegfallen lassen und die 1
> quadrieren, richtig?
Auf gar keinen Fall ist das richtig. Siehe dazu auch Deine andere Frage!
Gruß vom
Roadrunner
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Also reicht es nicht, wenn ich die Wurzeln getrennt betrachte sondern müsste
2x-5 + 3x-1 [mm] \ge [/mm] 0 betrachten? Weil ja beide Wurzeln größer oder gleich Null werden können, dachte ich, dass die Addition da am sinnvollsten wäre..
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Hallo strawberryjaim!
> Also reicht es nicht, wenn ich die Wurzeln getrennt betrachte
Doch, doch ... bei der Ermittlung der Teil-Definitionsbereiche (je Wurzel) schon.
Erst diese Lösungen müssen dann für die Gesamt (Un-)Gleichung überlagert werden, so dass alle Forderungen erfüllt sind.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | | [mm] \wurzel{2x-5} [/mm] = [mm] 1-\wurzel{3x-1} [/mm] |
Also hätte ich hier ja dann
2x-5 [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge \bruch{5}{2}
[/mm]
und 3x-1 [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge \bruch{3}{2}
[/mm]
Bedeutet dass, dass mein Definitionsbereich generell [mm] \ge \bruch{5}{2} [/mm] sein muss, da diese Zahl größer ist?
Oder sollte ich das lieber in Intervallschreibweise angeben? [mm] (\bruch{5}{2},\infty) [/mm] ? :)
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Hallo strawberryjaim!
> [mm]2x^{3}[/mm] - 5x + 3 = 0
> Zu 2: Ist hier der maximale Definitionsbereich = [mm]\IR,[/mm] da
> Polynome auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig sind
Genau so!
> Weiterhin: Wie löse ich das Polynom auf?
Polynomdivision!
> Mit der Polynomdivision erhalte ich: [mm]2x^{2}-3 \gdw[/mm] x = [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie das? Bitte rechne vor.
Welche Nullstelle hast Du denn bereits erhalten, mit der Du die Polynomdivision durchführst?
Gruß vom
Roadrunner
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Manchmal tut eine Pause ganz gut, habe meinen Fehler gefunden.. Trotzdem vielen Dank :)
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Hallo strawberryjaim!
> [mm]\bruch{-12}{2x+4} \le[/mm] |3x-3| + 3x
> Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie die
> Lösungsmenge an.
> Zu 1: Muss ich für den maximalen Definitionsbereich auch
> noch den Betrag irgendwie berücksichtigen? Oder reicht es,
> dass der Nenner [mm]\not=[/mm] 0 ist?
Für den Definitionsbereich reicht das aus.
> Muss ich bei der Lösungsmenge dann eine Fallunterscheidung
> durchführen?
> Hier wäre der Betrag ja =0 für x=1, dementsprechend wäre
> das 1. Intervall [mm](-\infty,-2)[/mm] da -2 die Nullstelle des
> Bruchs ist und das 2. Intervall (-2,1), 3. Intervall
> [mm](1,\infty).[/mm]
Fast. Das letzte Intervall muss [mm] $\red{[}1,\infty)$ [/mm] lauten, damit dier Wert $x \ = \ 1$ nicht hinten runterfällt.
> Wie gebe ich im Allgemeinen die Lösungsmenge bei einer
> Ungleichung an? Wenn x [mm]\ge -\bruch{18}{12}[/mm] ist dann die
> Lösungsmenge [mm]\IL=(-\bruch{18}{12},\infty)?[/mm]
Wenn dies das Ergebnis der Berechnung wäre, dann .
Aber ich komme für obige Ungleichung auf etwas anderes.
>
> Zu 2: Ist hier der maximale Definitionsbereich = [mm]\IR,[/mm] da
> Polynome auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig sind, oder ist es
> [mm]\IR\\{Nullstellen\}[/mm] Weiterhin: Wie löse ich das Polynom
> auf? Mit der Polynomdivision erhalte ich: [mm]2x^{2}-3 \gdw[/mm] x =
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Zu 3: Für den Definitionsbereich würde ich einfach das
> Argument der Wurzeln > 0 berechnen. Also 2x-5 > 0 [mm]\gdw[/mm] x >
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] und 3x-1 > 0 [mm]\gdw[/mm] x > [mm]\bruch{1}{3} \Rightarrow[/mm]
> D = [mm]\IR[/mm] \ [mm]{\bruch{5}{2},\bruch{1}{3}}[/mm] Wie sähe das in
> Intervallschreibweise aus? Muss ich bei Ungleichungen
> generell eher die Intervallschreibweise wählen?
> Lösungsmenge: Wurzeln und Quadrate heben sich auf,
> deshalb kann ich doch die Wurzel wegfallen lassen und die 1
> quadrieren, richtig? Hätte dann im Endeffekt x=-5 raus,
> also [mm]\IL={-5}[/mm] In Intervallschreibweise wäre das dann
> [mm](-\infty,-5),(-5,\infty)[/mm] oder?
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Danke erst mal, für deine ganzen Bemühungen :)
Warum muss ich beim 2. Intervall nicht schon die geschlossene Klammer bei der 1 benutzen? Also quasi (-2,1]? Und wie ist das, wenn ich zwei Intervalle "addiere"? Also bspw. [mm] \IL [/mm] = [mm] (-\infty,5] [/mm] und [mm] [1,\infty) [/mm] als Lösungsmengen habe und die als vereinigte Lösungsmenge angeben möchte. Gibt's da ne Regel oder einen Trick?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 06.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Du kannst es Dir aussuchen. Es geht nur darum aufzupassen, dass die 1 nicht ausgelassen wird.
Wenn Du die angegebenen Lösungsmengen vereinigen willst, dann zeichne sie auf einem Zahlenstrahl ein. Dann siehst Du die Vereinigungsmenge sofort. Nach einiger Übung brauchst Du den Zahlenstrahl nicht mehr.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
