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partielle Ableitung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:44 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Hallo zusammen, habe eine Frage zur partiellen Ableitung nach x mittels Differenzenformel und hoffe ihr könnt mir helfen.

Die verwendete Differnezenformel lautet:

[mm] \bruch{\delta{f(x,y)}}{\delta{}x}=\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/mm]

Die Funktion f lautet: [mm]f(x,y)=cos(x)*e^{x+y}+xy^2[/mm]

Ist das hier schon die Lösung:
[mm] \bruch{cos(x+h)*e^{x+h+y}+(x+h)*y^2-cos(x)*e^{x+y}-x*y^2 }{h} [/mm] ?

Oder muss das h in der Lösung verschwinden? Ich habe mal versucht es aufzulösen, jedoch ohne Erfolg.

Vielleicht hat jemand einen Tipp. Danke schonmal.

        
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partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Di 22.11.2016
Autor: chrisno

Das Entscheidende ist, dass irgendwann da h aus dem Nenner gekürzt werden kann. Dann lässt sich der Grenzwert auch angeben. Dazu musst Du ein Additionstheorem für den Kosinus benutzen und fleißig umsortieren. Ich zweifle aber an der Sinnhaftigkeit dieser Aufgabe. Für solche Fälle gibt es die Ableitungsregeln.

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partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Das mit dem Additionstheorem habe ich gemacht und das hier erhalten:

[mm] \bruch{[cos(x)cos(h)-sin(x)sin(h)]\cdot{}e^{x+h+y}+(x+h)\cdot{}y^2-cos(x)\cdot{}e^{x+y}-x\cdot{}y^2 }{h} [/mm]

Aber da hört es auch auf. Ich weiß nicht, wie man das h aus dem Nenner kürzen kann :(

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partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 22.11.2016
Autor: chrisno

Mach es in Schritten: trenne die Terme, die von [mm] $xy^2$ [/mm] stammen, ab und behandle diese.
Falls Du noch nicht weißt, was [mm] $\lim_{h\to 0}\br{\cos(h)}{h}$ [/mm] und [mm] $\lim_{h\to 0}\br{\sin(h)}{h}$ [/mm] ergibt, hat DU noch ein längeres Stück Weg vor Dir.

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partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Di 22.11.2016
Autor: cey112

wenn h gegen Null geht, geht der ganze Ausdruck gegen unendlich. Oder stehe ich hier auf dem Schlauch? Oder muss ich das mit L'Hopital bestimmen? Das ist alles schon etwas her :(

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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Ok, ich habe es nochmal nachgelesen ... mit l'Hopital ist:

[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{cos(h)}{h}=\bruch{-sin(h)}{1}=0 [/mm]

[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)}{h}=\bruch{cos(h)}{1}=1 [/mm]

Richtig?

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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Di 22.11.2016
Autor: Chris84


> Ok, ich habe es nochmal nachgelesen ... mit l'Hopital ist:
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{cos(h)}{h}=\bruch{-sin(h)}{1}=0[/mm]
>  

Nein,
es ist [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{cos(h)}{h} \rightarrow\infty$. [/mm]

> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)}{h}=\bruch{cos(h)}{1}=1[/mm]

Ja!

>  
> Richtig?


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partielle Ableitung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:16 Di 22.11.2016
Autor: cey112

ok, das mit cos(h)/h verstehe ich nicht. Kannst du mir das erklären?

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partielle Ableitung: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Habe es verstanden. denke ich :D cos(h) ist ja 1 und nicht 0. deshalb geht der nenner gegen 1 und der Zähler gegen Null. Man teilt also durch was sehr kleines, womit das Ergebnis Unendlich groß wird.

Richtig?

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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 Di 22.11.2016
Autor: Chris84


> Habe es verstanden. denke ich :D cos(h) ist ja 1 und nicht
> 0. deshalb geht der nenner gegen 1 und der Zähler gegen
> Null.

Ja!

> Man teilt also durch was sehr kleines, womit das
> Ergebnis Unendlich groß wird.
>
> Richtig?

Nein!

Wie du bereits geschrieben hast, weisst du, dass man es auch anders berechnen kann. Dann weisst du auch, dass die Ableitung sicher existiert und nicht unendlich sein kann.

Du hast den Subtrahenden im Zaehler nicht beachtet geauso wenig wie die Tatsache, dass der Cosinus ein Produkt mit der Exponentialfunktion bildet. Ich gebe dir mal einen kleinen Tipp :)

Es ist doch

[mm] $\frac{\cos(x)\cos(h)e^{x+y+h}-\cos(x)e^{x+y}}{h}=\cos(x)e^{x+y}\left(\frac{\cos(h)e^h-1}{h}\right)$ [/mm]

und der Grenzwert des Terms in der Klammer laeuft nicht gegen Unendlich ;)

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partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Ich habe schon ein bisschen schiss was zu schreiben ^^

Also bei mir erhalte ich für den Grenzwert in den Klammern 1.

Richtig? Bitte sag nicht nein^^


Ich habe mal einen ABleitungsrechner verwendet und folgendes Ergebnis für die ABleitung erhalten:

[mm]e^{x+y}cos(x)-e^{x+y}sin(x) +y^2[/mm]

Wo kommen die [mm] -e^{x+y}sin(x) [/mm] her?

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partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Di 22.11.2016
Autor: Chris84


> Ich habe schon ein bisschen schiss was zu schreiben ^^

Noa, wenn man sich an Regeln haelt, ist doch alles gut :)

>  
> Also bei mir erhalte ich für den Grenzwert in den Klammern
> 1.

Ja, richtig :)

>  
> Richtig? Bitte sag nicht nein^^

Mach ich nicht ;)

>  
> Ich habe mal einen ABleitungsrechner verwendet und
> folgendes Ergebnis für die ABleitung erhalten:
>  
> [mm]e^{x+y}cos(x)-e^{x+y}sin(x) +y^2[/mm]
>  
> Wo kommen die [mm]-e^{x+y}sin(x) [/mm] her?  

Stichwort: Produktregel!

Aber du bist ja schon mal auf einem guten Weg :)

Nun mache weiter. Du bist ganz nah dran :)

Frag, wenn noch was unklar sein sollte ;)

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partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Ja, leider habe ich noch eine Frage. Der Term in der klammer geht gegen 1. Also bleibt von der Gleichung nur der vordere Teil übrig + [mm] y^2. [/mm] Wenn ich den vorderen Teil ableite, erhalte ich den Term mit dem Sinus.

Ich dachte, dass ich durch einsetzen in die Differenzenformel mit Umformungen und so, die Ableitung erhalte. Ich verstehe jetzt nicht ganz, warum ich an dieser Stelle ableiten muss?

Also irgendwas habe ich hier wohl nicht verstanden ^^

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partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Di 22.11.2016
Autor: Chris84


> Ja, leider habe ich noch eine Frage. Der Term in der
> klammer geht gegen 1.

Welche Klammer genau meinst du?

> Also bleibt von der Gleichung nur der
> vordere Teil übrig + [mm]y^2.[/mm] Wenn ich den vorderen Teil

Was meinst du mit vorderen Teil?

> ableite, erhalte ich den Term mit dem Sinus.
>
> Ich dachte, dass ich durch einsetzen in die
> Differenzenformel mit Umformungen und so, die Ableitung
> erhalte. Ich verstehe jetzt nicht ganz, warum ich an dieser

Genau so ist es :)

> Stelle ableiten muss?

Wo genau ableiten?

>  
> Also irgendwas habe ich hier wohl nicht verstanden ^^

Das ist irgendwie alles noch ziemlich schwammig.

Es ist also
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{{\color{red}cos(x)cos(h)e^{x+y+h}}{\color{blue}-sin(x)sin(h)\cdot{}e^{x+h+y}}+{\color{green}(x+h)\cdot{}y^2}{\color{red}-cos(x)\cdot{}e^{x+y}}{\color{green}-x\cdot{}y^2} }{h}$ [/mm]

Mit dem roten Teil (einschliesslich dem 1/h) waren wir quasi fertig. Da [mm] $(\cos(h)e^h-1)/h$ [/mm] gegen 1 laeuft, wird der Grenzwert des roten Terms [mm] $\cos(x)e^{x+y}$ [/mm] (wie von deinem Ableitungsrechner berechnet).

Bleiben noch der blaue Term und der gruene Term (jeweils mit 1/h).

Der blaue Term wird dann zu [mm] $-\sin(x)e^{x+y}$ [/mm] und der gruene zu [mm] $y^2$. [/mm]

Und damit hast du doch die partielle Ableitung von $f$ nach $x$.

Klar, was ich meine? :)

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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Di 22.11.2016
Autor: cey112

Ganz ehrlich! Ich habe den blauen Term einfach vergessen ...Oh Mann. Habe das erst mit dem Additionstheorem gemacht und dann einfach den Teil mit dem Sinus weggelassen.

Tut mir leid und danke für deine Hilfe. Das hat mir sehr geholfen. Jetzt ist alles klar.

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partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Di 22.11.2016
Autor: Chris84


> wenn h gegen Null geht, geht der ganze Ausdruck gegen
> unendlich.

Eher nicht!

> Oder stehe ich hier auf dem Schlauch? Oder muss
> ich das mit L'Hopital bestimmen? Das ist alles schon etwas

Kann man.

> her :(

Ich frage mich aehnlich wie chrisno, was du genau machen moechtest. Da du L'Hospital kennst, scheinst du wohl Ableitungen  und Ableitungsregeln zu beherrschen.

Oder geht es darum, dass ihr noch nicht sehr weit in der mehrdimensionalen Differentiation fortgeschritten seid.

Aber eig. gibt es doch Saetze, mit denen man mehrdimensionale Ableitungen berechnen kann.

Mir ist noch nicht so ganz klar, was du wieso ueberhaupt tun moechtest ^^

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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Di 22.11.2016
Autor: cey112

ich habe eine Übungsaufgabe die ich lösen muss. Die lautet: Bestimme mittels Differnezenformel die partielle Ableitung der Funktion. Ich weiß auch, dass man es anders machen kann. In der Aufgabe steht es aber so ^^

Bezug
                                
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partielle Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Di 22.11.2016
Autor: chrisno

Das tut mit Leid, mit $ [mm] \lim_{h\to 0}\br{\cos(h)}{h} [/mm] $ habe ich eine falsche Spur gelegt.

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