partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) [mm] $f:\IR^3\backslash\{0\} \to \IR. x\to |x|^{-1}$
[/mm]
b) [mm] $f:\IR^2\backslash\{0\} \to \IR. x\to \ln|x|$
[/mm]
c) [mm] $f:\IR^2\backslash\{0\} \to \IR. x\to \exp(x_1)*\cos(x_2)$
[/mm]
d) [mm] $f:\IR\backslash\{0\} \to \IR. x\to \arctan(\bruch{x_2}{x_1})$
[/mm]
e) [mm] $f:\IR^2\backslash\{0\} \to \IR. x\to Im(\exp(x_1+i*x_2))$
[/mm]
f) [mm] $f:\IR^3\backslash\{0\} \to \IR. x\to \summe_{i=1}^{3}x_i^3$ [/mm] |
a) [mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}= \bruch{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-x_1((x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}= \bruch{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-x_1((x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}
[/mm]
[mm] b)\bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{ln|x_2|}{x_1}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{ln|x_1|}{x_2}
[/mm]
[mm] c)\bruch{\delta f}{\delta x_1}=exp(x_1)cos(x_2)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}=-exp(x_1)sin(x_2)
[/mm]
d) bisher noch keine idee, hier bräuchte ich Tipps
e) Auch hier wäre ein Tipp gut. Was ist das Im. Das Bild? Nur wie bilde ich damit eine Ableitung?
f) [mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}=3x_1^2+x_2^3+x_3^3
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}=x_1^3+3x_2^2+x_3^3
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_3}=x_1^3+x_2^3+3x_3^2
[/mm]
Könnt ihr mir sagen was davon richtig ist bzw falsch? Und vielleicht Tipps geben wo ich nicht weiter komme?
MfG
Mathegirl
e)
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Hallo Mathegirl
Schreibe bitte deine Funktionen richtig auf dann bekommst du sicherlich Hilfe
Bei der a und b kommen bis jetzt keine [mm] x_{1} x_{2} x_{3}
[/mm]
grüße eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]f:\IR^3\{0} \to \IR. x\to |x|^{-1}[/mm]
>
> b) [mm]f:\IR^2\{0} \to \IR. x\to[/mm] ln|x|
>
> c) [mm]f:\IR^2\{0} \to \IR. x\to exp(x_1)cos(x_2)[/mm]
>
> d) [mm]f:\IR\{0} \to \IR. x\to arctan(\bruch{x_2}{x_1}[/mm]
>
> e) [mm]f:\IR^2\{0} \to \IR. x\to Im(exp(x_1+ix_2))[/mm]
>
> f) [mm]f:\IR^3\{0} \to \IR. x\to \summe_{i=1}^{3}x_i^3[/mm]
> a)
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}= \bruch{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}[/mm]
Das "=" stimmt nicht ! Es ist [mm]f= \bruch{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{-x_1((x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}[/mm]
Ja, das ist die part. Abl. nach [mm] x_1. [/mm] Das kannst Du noch vereinfachen.
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}= \bruch{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}[/mm]
Siehe oben.
>
> =
> [mm]\bruch{-x_1((x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}[/mm]
Nein, sondern [mm]\bruch{-x_2((x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2}}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}[/mm]
>
> [mm]b)\bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{ln|x_2|}{x_1}[/mm]
Das ist völliger Unsinn. Es ist doch f= [mm] ln(\wurzel{x_1^2+x_2^2})
[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{ln|x_1|}{x_2}[/mm]
S.o.
>
> [mm]c)\bruch{\delta f}{\delta x_1}=exp(x_1)cos(x_2)[/mm]
Stimmt
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=-exp(x_1)sin(x_2)[/mm]
Stimmt.
>
> d) bisher noch keine idee, hier bräuchte ich Tipps
Wo ist das Problem. Für die partielle Abl. nach [mm] x_1 [/mm] betrachte [mm] x_2 [/mm] als konstant und differenziere nach [mm] x_1.
[/mm]
Analoges für die Abl. nach [mm] x_2
[/mm]
>
> e) Auch hier wäre ein Tipp gut. Was ist das Im. Das Bild?
> Nur wie bilde ich damit eine Ableitung?
Es ist [mm] Im(e^{x_1+ix_2})= e^{x_1}*sin(x_2). [/mm] Ist Dir das klar ?
>
> f) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=3x_1^2+x_2^3+x_3^3[/mm]
Das ist nicht richtig. Wenn Du nach [mm] x_1 [/mm] differenzierst, mußt Du [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] als konstant betrachten.
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=x_1^3+3x_2^2+x_3^3[/mm]
s.o.
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_3}=x_1^3+x_2^3+3x_3^2[/mm]
s.o
FRED
>
>
> Könnt ihr mir sagen was davon richtig ist bzw falsch? Und
> vielleicht Tipps geben wo ich nicht weiter komme?
>
> MfG
> Mathegirl
>
> e)
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Danke ich hab meine Fehler korrigiert.
Aber nochmal zu [mm] arctan(\bruch{x_2}{x_1})
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{-x_2}{x_1^2+x_2^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{x_1}{x_1^2+x_2^2}
[/mm]
Stimmt das so?
>
> Es ist [mm]Im(e^{x_1+ix_2})= e^{x_1}*sin(x_2).[/mm] Ist Dir das klar
So richtig klar ist mir das nicht. Aber [mm] exp(x_1)*sin(x_2) [/mm] kann ich folgendermaßen partiell ableiten:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}=exp(x_1)*sin(x_2)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}=exp(x_1)*cos(x_2)
[/mm]
> > f) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=3x_1^2+x_2^3+x_3^3[/mm]
>
> Das ist nicht richtig. Wenn Du nach [mm]x_1[/mm] differenzierst,
> mußt Du [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] als konstant betrachten.
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}= 3x_1^2
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_2}= 3x_2^2
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_3}= 3x_3^2
[/mm]
So richtig?
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Aber nochmal zu [mm]arctan(\bruch{x_2}{x_1})[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{-x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{x_1}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}= 3x_1^2[/mm]
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}= 3x_2^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_3}= 3x_3^2[/mm]
>
> So richtig?
Gruß
Loddar
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Hallo Mathegirl,
> Danke ich hab meine Fehler korrigiert.
>
> >
> > Es ist [mm]Im(e^{x_1+ix_2})= e^{x_1}*sin(x_2).[/mm] Ist Dir das klar
>
> So richtig klar ist mir das nicht. Aber [mm]exp(x_1)*sin(x_2)[/mm]
> kann ich folgendermaßen partiell ableiten:
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=exp(x_1)*sin(x_2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=exp(x_1)*cos(x_2)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > f) [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=3x_1^2+x_2^3+x_3^3[/mm]
> >
> > Das ist nicht richtig. Wenn Du nach [mm]x_1[/mm] differenzierst,
> > mußt Du [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] als konstant betrachten.
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}= 3x_1^2[/mm]
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}= 3x_2^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_3}= 3x_3^2[/mm]
>
> So richtig?
>
Ja.
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 So 29.04.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich häng meine Fragen mal an den Anfangspost, da ich denke, dass es einfacher und übersichtlicher ist, als jede Frage wo anders hinzuschreiben. Ich werd aber zitieren, wenn ich mich auf eine Antwort beziehe.
Zuerst zu Aufgabenteil (a): Kann ich das so schreiben? $ [mm] ((x_1^2 +x_2^2 [/mm] + [mm] x_3^2)^{\bruch{1}{2}})^{-1} =(x_1^2 +x_2^2 [/mm] + [mm] x_3^2)^{\bruch{-1}{2}} [/mm] $
Zu (b): Stimmt das?
$ [mm] \delta_x_1 [/mm] f = [mm] \bruch{x_1}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] $
>
> Aber nochmal zu [mm]arctan(\bruch{x_2}{x_1})[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{-x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{x_1}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Wie kommt man darauf? Wie leite ich denn den arctan ab? arctan ist doch $ [mm] tan^{-1} [/mm] $, oder? Damit hab ich es versucht und komme auf
[mm] $\delta_x_1 [/mm] f = -2 * tan [mm] \bruch{x_1}{x_2} [/mm] $
Und zur (e): Kann mir nochmal jemand auf die Sprünge helfen, warum $ Im [mm] (e^{x_1 + ix_2}) [/mm] = [mm] e^{x_1} [/mm] * sin [mm] (x_2) [/mm] $ ist?
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> Ich häng meine Fragen mal an den Anfangspost, da ich
> denke, dass es einfacher und übersichtlicher ist, als jede
> Frage wo anders hinzuschreiben. Ich werd aber zitieren,
> wenn ich mich auf eine Antwort beziehe.
>
> Zuerst zu Aufgabenteil (a): Kann ich das so schreiben?
> [mm]((x_1^2 +x_2^2 + x_3^2)^{\bruch{1}{2}})^{-1} =(x_1^2 +x_2^2 + x_3^2)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
Ja.
> Zu (b): Stimmt das?
> [mm]\delta_x_1 f = \bruch{x_1}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
>
> >
> > Aber nochmal zu [mm]arctan(\bruch{x_2}{x_1})[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_1}=\bruch{-x_2}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
> >
>
> > [mm]\bruch{\delta f}{\delta x_2}=\bruch{x_1}{x_1^2+x_2^2}[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
> >
Ja, das stimmt so.
>
> Wie kommt man darauf? Wie leite ich denn den arctan ab?
> arctan ist doch [mm]tan^{-1} [/mm], oder? Damit hab ich es versucht
> und komme auf
>
> [mm]\delta_x_1 f = -2 * tan \bruch{x_1}{x_2}[/mm]
>
Gemäß der Kettenregel in Verbindung mit der Umkehrregel ergibt sich:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial \left(\bruch{x_1}{x_2}\right)}{\partial x_{1}}*\bruch{1}{\tan'\left(arctan(\bruch{x_2}{x_1})\right)}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}=\bruch{\partial \left(\bruch{x_1}{x_2}\right)}{\partial x_{2}}*\bruch{1}{\tan'\left(arctan(\bruch{x_2}{x_1})\right)}[/mm]
> Und zur (e): Kann mir nochmal jemand auf die Sprünge
> helfen, warum [mm]Im (e^{x_1 + ix_2}) = e^{x_1} * sin (x_2)[/mm]
> ist?
>
Es gilt doch:
[mm]e^{x_{1}+ix_{2}}=e^{x_{1}}*e^{ix_{2}}=e^{x_{1}}*\left(\cos\left(x_{2}\right)+i\sin\left(x_{2}\right)\right)[/mm]
Beim letzten Gleichheitszeichen ist die Eulersche Identität verwendet worden.
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
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