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stammfunktionen: frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Di 15.02.2005
Autor: bob

hallo,
habe eine frage zur richtigen berchenung von integralen:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] sin(2x)/cos(2x) dx
mein vorschlag:
substitution von cos(2x) durch variable u.

=>du/dx=-2sin(2x) und dx=du/-2sin(2x)

also  [mm] \integral_{}^{} [/mm] sin(2x)/u * du/-2(sin(2x)

kürzen:
-1/2 [mm] \integral_{}^{} [/mm] du/u

aufleiten:
-1/2*lnu+C
rücksubstituieren:
-1/2*ln(cos(2x))+C

bitte korrekten


        
Bezug
stammfunktionen: Stimmt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!


>  rücksubstituieren:
>  -1/2*ln(cos(2x))+C

[daumenhoch]

Um ganz korrekt zu sein, solltest Du schreiben:
$F(x) \ = \ - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \ln \red{\left|} \cos(2x) \red{\left|} [/mm] \ + \ C$


Loddar


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stammfunktionen: danke/weiter frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Di 15.02.2005
Autor: bob

danke für deine schnelle antwort:
hänge an einem weiteren problem:
[mm] \integral_{0}^{0,5} [/mm] x* [mm] \wurzel{1-x²} [/mm] dx
substitution: x=sin(u)
=>dx/du=cos(u)
=>dx=cos(u)*du
also  [mm] \integral_{0}^{0,5} [/mm] sin(u)* [mm] \wurzel{[1-sin²u]} [/mm] *cos(u)*du
[1-sin²(u)]=cos²(u)
also  [mm] \integral_{0}^{0,5} [/mm] sin(u)* [mm] \wurzel{[cos²u]} [/mm] *cos(u)*du
also  [mm] \integral_{0}^{0,5} [/mm] sin(u)* cos(u) *cos(u)*du
also  [mm] \integral_{0}^{0,5} [/mm] sin(u)* cos²(u)*du
hier wollte ich mit der Produktintegration weitermachen:
isch wähle die variablen u und v' möglichst sinnvol. hier scheiter ich...
u=cos²u und v'=sinu oder u=sinu und v'=cos²u. das integral wird
ab hier eher schwieriger als leichter.

Bezug
                        
Bezug
stammfunktionen: Andere Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!


[mm]\integral_{0}^{0,5}{x * \wurzel{1-x^2} \ dx}[/mm]

Probier's doch einfach mal mit folgender Substitution:
$u \ := \ [mm] 1-x^2$ [/mm]


Gruß
Loddar


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stammfunktionen: rechnung mit substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 15.02.2005
Autor: bob

hallo Loddar,
hab versucht deinen substitutionsvorschlag zu verwenden:
u=1-x²
also  [mm] \integral_{}^{}x*\wurzel{u} [/mm] dx
du/dx=-2x => dx=du/-2x
also  [mm] \integral_{}^{}x*\wurzel{u} [/mm] * du/-2x
also -1/2 [mm] \integral_{}^{}x*\wurzel{u} [/mm] * du/x
kürzen
also  -1/2 [mm] \integral_{}^{}\wurzel{u} [/mm] du
also  -1/2 [mm] \integral_{}^{}u^1/2 [/mm] du
aufleiten
-1/2 [2/3 [mm] u^3/2)]+C [/mm]
oder -1/2 [2/3 [mm] \wurzel{u³}]+C [/mm]
oder -1/2 [2/3 [mm] \wurzel{(1-x²)³}]+C [/mm]
= -(1/2*2/3*(1-x²)) +C
kürzen
=-(1-x²)/3+C oder (x²-1)/3 +C

;-(

> Hallo Bob!
>  
>
> [mm]\integral_{0}^{0,5}{x * \wurzel{1-x^2} \ dx}[/mm]
>  
> Probier's doch einfach mal mit folgender Substitution:
>  [mm]u \ := \ 1-x^2[/mm]
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  
>  


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Bezug
stammfunktionen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!


>  oder -1/2 [2/3 [mm]\wurzel{u³}]+C[/mm]
>  oder -1/2 [2/3 [mm]\wurzel{(1-x²)³}]+C[/mm]

[daumenhoch] Bis hierher ok ...



>  = -(1/2*2/3*(1-x²)) +C

[notok] Wo ist denn die Wurzel abgeblieben ??




Bitte benutze doch in Zukunft unseren Formel-Editor !
Das erhöht die Lesbarkeit um ein Vielfaches und vereinfacht die Kontrolle ...


Loddar


Bezug
                                                
Bezug
stammfunktionen: rechnung 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 15.02.2005
Autor: bob

[mm] -\bruch{1}{2}[\bruch{2}{3}\wurzel{1-x²}]+C [/mm]

hatte einen denkfehler:
[mm] \wurzel{(1-x²)³}]=\wurzel{(1-x²)²}*\wurzel{1-x²}=\wurzel{1-x²} [/mm]

also [mm] -\wurzel{1-x²}/3 [/mm] + C




Bezug
                                                        
Bezug
stammfunktionen: Immer noch falsch ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!


> [mm]\wurzel{(1-x²)³}=\wurzel{(1-x²)²}*\wurzel{1-x²}=\wurzel{1-x²} [/mm]

[notok]

Aus [mm]\wurzel{(1-x^2)^2}[/mm] wird aber [mm]\left| 1-x^2 \right|[/mm] bzw. mit dem Definitionsbereich der Ausgangsfunktion höchstens [mm] $1-x^2$. [/mm]


Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
stammfunktionen: denkfehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Di 15.02.2005
Autor: bob

hallo loddar,
das heißt  [mm] \wurzel{(1-x²)³} [/mm]
löst sich als  |1-x²|  auf?
also Quadrate in der Wurzel lösen diese auf, aber bei höheren Potenzen?
was passiert mit dem Faktor 1 der noch
ungekürzt übrig bleibt? der faktor 3 im Nenner ist korrekt?

danke für deine erklärung


Bezug
                                                                        
Bezug
stammfunktionen: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!

[mm]\wurzel{(1-x^2)^3} \ = \ \wurzel{(1-x^2)^2 * (1-x^2)^1} \ = \ \wurzel{(1-x^2)^2} * \wurzel{(1-x^2)^1} \ = \ (1-x^2) * \wurzel{1-x^2}[/mm]

Sieh' Dir doch sonst mal die MBPotenzgesetze nochmal an ...


Nun klar?

Loddar


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Bezug
stammfunktionen: versuch3
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Di 15.02.2005
Autor: bob

yep loddar, manchmal stürzt mein organischer rechner ab...
habe noch zwei andere probleme die ich aber seperat poste.

F(x)= - [mm] [(1-x^2) \cdot{} \wurzel{1-x^2}]/3 [/mm] + C

?


Bezug
                                                                                        
Bezug
stammfunktionen: Jetzt stimmt's ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Di 15.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Bob!

> F(x)= - [mm][(1-x^2) \cdot{} \wurzel{1-x^2}]/3[/mm] + C

Wenn Du jetzt noch den Formel-Editor richtig einsetzt, wird's richtig gut:

$F(x) = [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (1-x^2) [/mm] * [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] + C$


Loddar


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