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summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 06.09.2006
Autor: Bit2_Gosu

Hallo !!!

Um den Flächeninhalt unter der allgemeinen Funktion f(x)= [mm] x^b [/mm] auszurechnen,

brauche ich die Summenformel  [mm] \summe_{i=1}^{n} i^b [/mm] .

Ich hab schon viel rumgefragt, aber keiner wusste was davon.

Wäre echt toll, wenn ihr sie mir sagen könntet !!!

        
Bezug
summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 06.09.2006
Autor: Event_Horizon

ich denke, du möchtest eine Formel für die Unter- und Obersummen, korrekt?

Folgendes:

Du zeichnest Rechtecke Seite an Seite unter deine Funktion, sodaß jedes auf der x-AChse steht, und seine linke obere Ecke die Funktion berührt.

Du willst die Fläche erstmal zwischen den x-Werten 0 und a berechnen

Die Anzahl deiner Rechtecke ist n





Nun, die Breite eines Rechtecks ist nun [mm] $b=\bruch{a}{n}$ [/mm]

Die höhe eines Rechtecks ist der Funktionswert oben links am Rechteck

Also f(0) für das erste Rechteck, f(s) für das zweite, f(2s) für das dritte und so weiter.

Um die Fläche des jeweiligen Rechtecks zu berechnen, mußt du Breite und Höhe multiplizieren:

$A= s*f(0)+s*f(s)+s*f(2s)+...$


[mm] $A=\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] s*f(i*b)$

Beachte: das letzte rechteck hat als Funktionswert nicht $f(n*b)$, sondern$f((n-1)*b)$, weil linke obere Ecke!

und da b immer gleich ist:


[mm] $A=b*\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] f(i*b)$


Anschließend setzt man die Funktion ein, und versucht, für die Summe einen Term zu finden, sodaß das Summenzeichen weg kann. Danach verrechnet man den neuen Ausdruck mit dem Faktor b. der da noch steht, und setzt

[mm] $b=\bruch{a}{n}$ [/mm]

ein.

Jetzt macht man eine Grenzwertbetrachtung n -> oo, also unendlich viele Rechtecke. Gibt es den Grenzwert, ist das deine gesuchte Fläche.



Das Problem ist allerdings, die Ersatzformel zu finden, für lineare und quadratische Funktionen ist das kein Problem, danach wirds kritisch.


Bezug
                
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summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 06.09.2006
Autor: Bit2_Gosu

ich weiß schon wie man normalerweise den Flächeninhalt unter zb [mm] x^2 [/mm] ausrechnet.

zu den ersatzformeln. kein problem ich könnte theoretisch eine für jede einzelne potenz nach dem pascalschen dreieck erstellen, hur allgemein weiß ich des net ;)

Deshalb wäre es echt cool, wenn mir jemand helfen könnte !!!

Bezug
                        
Bezug
summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Mi 06.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Bit2_Gosu,

> ich weiß schon wie man normalerweise den Flächeninhalt
> unter zb [mm]x^2[/mm] ausrechnet.
>  
> zu den ersatzformeln. kein problem ich könnte theoretisch
> eine für jede einzelne potenz nach dem pascalschen dreieck
> erstellen, hur allgemein weiß ich des net ;)
>  
> Deshalb wäre es echt cool, wenn mir jemand helfen könnte
> !!!

Kann mir nicht vorstellen, dass es sowas gibt!
Hab' hier
[]http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm
ein "paar" Formeln gefunden, aber die werden gegen Ende hin (mit steigendem Exponenten) so unhandlich, dass ich es kaum für möglich halte, dass es sozusagen eine "universelle" Formel gibt!

mfG!
Zwerglein

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