matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisÜbersetzung Physik<-> Mathe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Übersetzung Physik<-> Mathe
Übersetzung Physik<-> Mathe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Übersetzung Physik<-> Mathe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:06 Do 07.09.2006
Autor: Oliver

Hallo zusammen,

in der Wikipedia wird unter dem Eintrag []Kinetische Energie aus den Beziehungen $F=ma$ und $W=Fs$ folgendes Integral berechnet:

[mm]W=\int_0^s{F ds'}=\int_0^s{(ma) ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{dt} ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{ds}\bruch{ds}{dt} ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{ds}v ds'}=m \int_0^v{v' dv'}=\bruch{1}{2}mv^2 [/mm]

Kann mir jemand diese Rechnung bitte in eine für Mathematiker verständliche Form überführen? Da kommen und gehen die Indizes ja gerade, wie man es braucht und dann werden die Ableitungen mal eben wie Brüche behandelt und entsprechend erweitert.
Gibt es eventuell gute Literatur, die einem diese Schreibweisen und Denkweisen etwas näher bringen?

Schonmal Danke im Voraus
Oliver

        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Do 07.09.2006
Autor: Palin

Ok im Prinzi hängt es mit den einheiten zusammen.

F = Kraft  = [mm] kg*m/s^2 (Kilogram*Meter/Sekunde^2) [/mm]
s= Strecke = m

mit Fs = (am)*s (a Beschleunigung) (m Masse)
Die Beschleunigung ist nun die Änderung der Geschwindigkeit also
a= dv/dt

Im nächsten schrit wird dann mit 1 = ds/ds multipliziert und der Bruchumgestelt da ds/dt = v

Also aus

dv/dt * ds/ds = dv/ds * ds/dt = dv/ds * v

Integrieren über s und dann nochmal über v da ja auch da die Stecke drinsteck => 1/2 [mm] m*v^2 [/mm]

Ich hoffe mal das erhellt die Sache einwenig.


Bezug
                
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:03 Do 07.09.2006
Autor: Oliver

Hallo Palin,

danke für die Antwort, aber einige Unklarheiten bestehen leider noch. Insbesondere habe ich als Mathematiker Bauchschmerzen "infinitesimale Erweiterungen" à la ds/ds=1 zu benutzen.

Ich versuche mal, die Einflussgrößen explizit darzustellen, vielleicht wird dann klar wo meine Probleme liegen:

Die Beschleunigung ist doch ein zeitabhängiger Vektor:
[mm] $\vec{a}(t)=\bruch{\delta \vec{v} (t)}{\delta t}=\bruch{\delta^2 \vec{s} (t)}{\delta^2 t}$ [/mm]

Die Kraft sollte in dieser Darstellung wie folgt definiert sein:
[mm] $\vec{F}(t)=m*\vec{a}(t)$ [/mm]

Wie kann ich in dieser Darstellung, den Wert der Kinetischen Energie formale korrekt - d.h. unter Beibehaltung aller Indizies und ohne das Kürzen infinitesimaler Größen - herleiten.

Unter Kinetischer Energie verstehe ich dabei die Energie die notwenig ist die Masse m aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen.

Danke
Oliver

P.S. Vielleicht sollte ich den Artikel lieber ins Physik-Forum verschieben ;)

Bezug
                        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Do 07.09.2006
Autor: unixfan

:-)
Jaja, das kenn ich gut - "infinitesimale Erweiterungen" etc. sind gang und gebe in der theoretischen Physik.... Da hilft nur eins: Mathe-Augen zu und durch... (PS: jede Funktion ist stetig)...
Bin froh dass es noch anderen so geht wie mir :-)

Bezug
                        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Do 07.09.2006
Autor: unixfan

Hallo!

OK, ich versuchs mal bißchen mathematischer:

Wir nehmen nur an: F(x(t)) = m [mm] \bruch{d^2x(t)}{dt^2} [/mm]

W = [mm] \int\limits_0^s [/mm] F(x) dx = [mm] \int\limits_0^t [/mm] F(x(t)) [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^t [/mm] m [mm] \bruch{d^2x(t)}{dt^2} \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] dt = m/2 [mm] \cdot \int\limits_0^t \bruch{d(\bruch{dx(t)}{dt})^2}{dt} [/mm] dt = m/2 [mm] \left(\bruch{dx(t)}{dt}\right)^2 [/mm]

Der erste Schritt entsteht durch Substitution.
Beim dritten nutze ich aus, dass [mm] \bruch{d \dot{x}^2}{dt} [/mm] = 2 [mm] \dot{x} \ddot{x} [/mm] ist

Über Kommentare würde ich mich freuen...

Bezug
                        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 09.09.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 07.09.2006
Autor: Event_Horizon

Naja, das mit dem ds/ds=1 einfach einfügen ist evtl etwas unbefriedigend, wenn man denkt, daß das ja Differenzialoperatoren sind, und keine einfachen Variablen.


Ich hatte es mal hier genauer erklärt, wenn man das als Kettenregel betrachtet. Das läßt sich nach Belieben umstricken und führt daher auch zu sowas einfachem wie "ds/ds=1 einfügen"

Bezug
        
Bezug
Übersetzung Physik<-> Mathe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 07.09.2006
Autor: Leopold_Gast

So sind sie, unsere Physiker! Diese Umformung kann man nur verstehen, wenn man schon verstanden hat, was man verstehen will ... äh  hm ...

Das ganze Durcheinander rührt daher, daß in der Physik meist nicht zwischen abhängiger Variable und Funktion unterschieden wird. Sind wir da also einmal ausnahmsweise sorgfältig!

Eine Funktion [mm]f[/mm] ordnet einer unabhängigen Variablen [mm]x[/mm] eine abhängige Variable [mm]y[/mm] zu:

[mm]y = f(x)[/mm]

Wir unterscheiden also zwischen dem Zuordnungsprozeß [mm]f[/mm] und dem konkreten Ergebnis [mm]y[/mm] der Zuordnung bei der Eingabe [mm]x[/mm].



Jetzt zur Physik. Der Weg [mm]s[/mm] ist eine Funktion der Zeit [mm]t[/mm]:

[mm]s = \sigma(t)[/mm]

Zu einem konkreten Zeitpunkt [mm]t[/mm] befindet sich der Körper an der Wegmarke [mm]s[/mm]. Die Funktion [mm]\sigma[/mm] vermittelt diese Zuordnung.

Definitionsgemäß sind dann Geschwindigkeit [mm]v[/mm] und Beschleunigung [mm]a[/mm] zur Zeit [mm]t[/mm] erste bzw. zweite Ableitung von [mm]\sigma[/mm]:

[mm]s = \sigma(t)[/mm]
[mm]v = \varphi(t) = \dot{\sigma}(t)[/mm]
[mm]a = \alpha(t) = \dot{\varphi}(t) = \ddot{\sigma}(t)[/mm]

[mm]\varphi[/mm] bzw. [mm]\alpha[/mm] sind die Funktionen, die diese Zuordnungen bewerkstelligen. Nehmen wir nun an, daß der Körper sich zum Zeitpunkt [mm]t=0[/mm] bei der Wegmarke [mm]s=0[/mm] befindet und die Geschwindigkeit [mm]v=0[/mm] hat. Mit unseren Funktionen schreibt sich das so:

[mm]\sigma(0) = 0 , \ \varphi(0) = 0[/mm]

Nach einer gewissen Zeit [mm]t_0[/mm] befindet sich der Körper bei [mm]s_0[/mm] und hat die Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm]:

[mm]\sigma \left( t_0 \right) = s_0 , \ \varphi \left( t_0 \right) = v_0[/mm]

Welche Arbeit [mm]W[/mm] wurde dabei verrichtet?

Jetzt kommt die Kraft [mm]F[/mm] ins Spiel. Bei der Wegmarke [mm]s[/mm] wirke die Kraft [mm]F[/mm]. Wieder eine Funktion! Nennen wir sie [mm]\Phi[/mm]:

[mm]F = \Phi(s)[/mm]

Andererseits ist ja [mm]s = \sigma(t)[/mm], so daß man [mm]F[/mm] auch als Funktion von [mm]t[/mm] betrachten kann:

[mm]F = \Phi \left( \sigma(t) \right) = \left( \Phi \circ \sigma \right) (t)[/mm]

Die Zuordnung [mm]t \mapsto F[/mm] ist also gerade die Verkettung [mm]\Phi \circ \sigma[/mm].

Nach Definition der Arbeit gilt nun:

[mm]W = \int_{s=0}^{s=s_0}~F~\mathrm{d}s = \int_{s=0}^{s=s_0}~\Phi(s)~\mathrm{d}s[/mm]

Und jetzt kommt's! Wir substituieren [mm]s = \sigma(t) , \ \mathrm{d}s = \dot{\sigma}(t) \, \mathrm{d}t[/mm]. Die zugehörigen [mm]t[/mm]-Grenzen sind nach Obigem [mm]t = 0[/mm] und [mm]t = t_0[/mm]. Die Substitutionsregel liefert:

[mm]W = \int_{t=0}^{t=t_0}~\Phi \left( \sigma(t) \right) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=t_0}~\left( \Phi \circ \sigma \right)(t) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t[/mm]

Nach der Grundgleichung der Mechanik sind Kraft [mm]F[/mm] und Beschleunigung [mm]a[/mm] aber proportional:

[mm]F = m a[/mm]

Die Masse [mm]m[/mm] ist der konstante Proportionalitätsfaktor. Zum Zeitpunkt [mm]t[/mm] ist also einerseits

[mm]F = \left( \Phi \circ \sigma \right)(t)[/mm]

und andererseits

[mm]F = m \cdot \alpha(t) = m \cdot \ddot{\sigma}(t)[/mm]

Im obigen Integral geht es dann weiter:

[mm]W = \int_{t=0}^{t=t_0}~m \cdot \ddot{\sigma}(t) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t = m \int_{t=0}^{t=t_0}~\dot{\varphi}(t) \cdot \varphi(t)~\mathrm{d}t[/mm]

Die Substitution [mm]v = \varphi(t) , \ \mathrm{d}v = \dot{\varphi}(t) \, \mathrm{d}t[/mm] mit den neuen Grenzen [mm]v=0[/mm] und [mm]v=v_0[/mm] führt schließlich auf

[mm]W = \int_{v=0}^{v=v_0}~v~\mathrm{d}v = \frac{1}{2} \left[ v^2 \right]_{v=0}^{v=v_0} = \frac{1}{2} \, {v_0}^2[/mm]


So müßte man das wohl streng nach den Regeln der Mathematik rechnen. Da bekommt man langsam Verständnis für den kurzen Weg der Physiker, auch wenn da viel Pfusch im Spiel ist. Ich hoffe, ich konnte dir beim Verständnis der Sache behilflich sein.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]