ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
frage mich ob ich es richtig gemacht habe
fall1:
wenn 2-x>0 // -2
-x>-2 // *-1
x<2
dann:
1:(2-x)>2:(x+1) // *(2-x)
1>(4-2x):(x-1) //* (x+1), wenn x+1>0, dann ist x>-1
x+1>4-2x //+2x, -1
3x>3 //:3
x>1
fall2:
wenn 2-x<0 //-2
-x<-2 //*-1
x>2
dann:
1:(2-x)>2:(x+1) // *(2-x)
1>(4-2x):(x-1) //* (x+1), wenn x+1<0, dann ist x<-1
x+1<4-2x //+2x, -1
3x<3 //:3
x<1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
du hast [mm] 2-x>\bruch{2}{x+1}, [/mm] du mußt mit dem Nenner x+1 multiplizieren, also hast du die Fälle:
1.) x+1>0, somit bleibt das Relationszeichen,
2.) x+1<0, somit wird das Relationszeichen getauscht,
Hinweis: es entsteht eine quadratische Ungleichung, somit gibt es wiederum zwei Fälle für 1.) und zwei Fälle für 2.)
Steffi
|
|
|
| |
|
stehe jetzt auf dem schlauch mit der quadratischen ungleichung (weitere zwei fälle). wäre toll, wenn du mir das anschaulich darstellen könntest.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Wenn du solche Aufgaben hier vorstellst, benutze doch bitte die Möglichkeiten dieses Forums, Formeln schön darzustellen. Es ist nicht schwer, insbesondere die grundlegenden Formeln sind unter dem Fenster zur Texteingabe aufgelistet. Ein Klick drauf, und du siehst in dem kleinen Feld, wie diese Formel in deinen Text geschrieben werden muss.
Steffi hat dein 1: als "Aufgabe 1:" interpretiert, und das hätte ich auch, wenn da nicht noch "2:" in deiner Formel stünde.
Deine Aufgabe ist ja eingentlich:
$ [mm] \frac{1}{2-x}>\frac{2}{x+1}$
[/mm]
Multipliziere zuerst mit dem ersten Nenner durch, das gibt zwei Fälle.
[mm] $1>\frac{2(2-x)}{x+1}$ [/mm] wenn $x<2$
und
[mm] $1<\frac{2(2-x)}{x+1}$ [/mm] wenn $x>2$
Jetzt mußt du mit dem zweiten Zähler multiplizieren, das gibt jeweils zwei Formeln:
$x+1>2(2-x)$ wenn $x<2$ und $x>-1$
$x+1<2(2-x)$ wenn $x<2$ und $x<-1$
$x+1<2(2-x)$ wenn $x>2$ und $x>-1$
$x+1>2(2-x)$ wenn $x>2$ und $x<-1$
Wenn du scharf hinguckst, siehst du, dass du die vierte Ungleichung ignorieren kannst, denn es gibt keine Zahl, die größer als 2 und kleiner als -1 ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 14.10.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo tim_tempel,
> 1:(2-x)>2:(x+1)
bitte benutze unser Formelsystem: /mm, damit keine Missverständnisse entstehen.
Du meinst hier wahrscheinlich folgende Ungleichung, die ich --wie Steffi21-- auch zunächst anders gelesen hatte:
[mm] $\bruch{1}{2-x}>\bruch{2}{x+1}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo tim
> 1:(2-x)>2:(x+1)
> frage mich ob ich es richtig gemacht habe
>
> fall1:
> wenn 2-x>0 // -2
> -x>-2 // *-1
> x<2
>
> dann:
>
> 1:(2-x)>2:(x+1) // *(2-x)
> 1>(4-2x):(x-1) //* (x+1), wenn x+1>0, dann ist x>-1
> x+1>4-2x //+2x, -1
> 3x>3 //:3
> x>1
richtig, aber dazu musst du die Bedingung, die du benutzt hast schreiben: wenn x>1 dann ist es sicher auch x>-1, aber zusätlich hast du x<2 also insgesamt :
1<x<2
> fall2:
> wenn 2-x<0 //-2
> -x<-2 //*-1
> x>2
>
> dann:
>
> 1:(2-x)>2:(x+1) // *(2-x)
da du mit was negativem multiplizierst dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
> 1>(4-2x):(x-1) //* (x+1), wenn x+1<0, dann ist x<-1
falsch, richtig :1<(4x-2)/(x+1)
da du schon x>2 hast, kannst du jetzt nicht x<-1 ansehen, sondern nur x>-1
dann hast du
x-1<4x-2
das hast du zwar auch, aber auf dem falschen Weg.
> x+1<4-2x //+2x, -1
> 3x<3 //:3
> x<1
soweit richtig, aber du hattest ja x>2 also kann es für diesen Fall keine lösung geben!
es bleibt noch
der Fall 2-x>0 und x+1<0 also insgesamt x<-1 : x < 2 gilt dann sowieso:
dann folgt aus 1/(2-x)>2/(x+1) |*(2-x)*(x+1) (negativ)
x+1<4-2x
3x<3
x<1 also insgesamt x<-1
Wenn du gleich betrachtest:
1.beide Nenner >0 Ungleichheitszeichen bleibt, mit beiden Nennern multipl
2.beide Nenner <0 Produkt >0 also wieder mit beiden multipl. Ungleichheitszeichen bleibt.
3. ein Nenner <0 der andere >0 Ungleichheitszeichen dreht sich um.
Dabei mussst du am Ende immer ansehen, ob die Bedingung, die du rauskriegst, mit der die du oben reingesteckt hast passt.
Gruss leduart
Du machst es also im Prinzip richtig, musst aber besser aufpassen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Mädels, man braucht überhaupt keine Fallunterscheidungen, sondern man kann die Aufgabe mit einfachen Termumformungen lösen:
[mm] \bruch{1}{2-x}>\bruch{2}{x+1}
[/mm]
Jetzt multiplizierst du die Gleichung mit dem Quadraten der beiden Nenner, also mit: [mm] (2-x)^{2}(x+1)^{2}
[/mm]
(2-x) [mm] (x+1)^2 [/mm] > 2(x+1) [mm] (2-x)^2
[/mm]
Alles auf die linke Seite bringen (durch Addition):
(2-x) [mm] (x+1)^2-2(x+1) (2-x)^2 [/mm] > 0
Ausklammern von (2-x) bzw. (x+1):
(2-x) (x+1) ((x+1)-2(2-x)) > 0
Klammer vereinfachen:
(2-x) (x+1) (3x-3) > 0
Die linke Seite ist Null, wenn x=-1 x=1 oder x=2 (Zerlegungssatz).
Folglich ändert die linke Seite der Gleichung ihr Vorzeichen in folgenden Intervallen nicht:
[mm] (-\infty,-1) [/mm] (-1,1) (1,2) [mm] (2,\infty)
[/mm]
Jetzt kommt die Stichprobe: Nimm aus dem ersten Intervall einen Wert
(am einfachsten nimm x=-2).
Setze es in die faktorisierte Ungleichung (2-x) (x+1) (3x-3) > 0 ein.
Du erhälst eine wahre Aussage. Daher gehört [mm] (-\infty,-1) [/mm] zur Lösungsmenge.
Die andern Intervalle wechseln ständig Vorzeichen, also gehören alle ungeraden Intervalle zur Lösung (d.h. das 3.Intervall).
L = [mm] (-\infty,-1)\cup [/mm] (1,2)
Ist das nicht genial?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:15 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Psychopath |
Man kann sogar noch auf die Stichprobe verzichten,und die Lösung der Gleichung sofort ablesen:
(2-x) (x+1) (3x-3) > 0
1.Fasse die linke Seite als Funktion auf.
2.Die Nullstellen sind, wie gesagt ablesbar: -1,1,2
3.Das höchste Glied ist [mm] -x^3
[/mm]
4.Also verläuft die Funktion für große x wie [mm] -x^3, [/mm] d.h. sie kommt von links oben.
5.Folglich ist das Intervall [mm] (-\infty,-1) [/mm] Teil der Lösung.
6.Da die Funktion in jedem 2.Intervall über der x-Achse liegt,
gehört auch das Intervall (1,2) dazu.
[mm] 7.L=(-\infty,-1) \cup(1,2) [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Psychopath,
> Hallo Mädels, man braucht überhaupt keine
> Fallunterscheidungen, sondern man kann die Aufgabe mit
> einfachen Termumformungen lösen:
Deine Überlegungen sind zwar richtig, allerdings nicht so einfach wie Fallunterscheidungen 
Du benutzt z.B. die Stetigkeit einer Funktion, während die anderen Überlegungen nur auf Eigenschaften der reellen Zahlen zurück greifen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Psychopath |
Hallo Marc,
kann sein, aber nach 2 Aufgaben kann man das, und spart dann viel Zeit.
Und Polynome sind immer stetig.
Ich dachte auch nur, dass man als Student diese Überlegungen kennen muß. Sie sind normalerweise genau der Stoff der Kurvendiskusson von Polynomfunktionen, die eigentlich jeder Schüler gut kennen müßte.
Ich bin wohl durch ein USA-Jahr vorbelastet, dort rechnen die alle so.
Viele Grüße
|
|
|
|
