x der 1. Abl. der Kreisgl. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich hab meine Kreisgleichung abgeleitet und will sie jetzt nach x auflösen. Meine Lösung: [mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right) \to \sqrt{\frac{\left(\frac{2m}{-2+2x_{M}}\right)^{-2}-r^{2}+x_{M}^{2}}{2x_{M}}}=-x
[/mm]
Wenn ich nun angebe, dass dieses x für alle negativen Zahlen [mm] \ID [/mm] = [mm] \IR \{ x \le 0 \} [/mm] gild, bin ich dann aus dem Schneider? Ich kann ja nicht einfach eine Wurzel aus [mm] -x^2 [/mm] ziehen.
Danke für eure Mühe
Th.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 29.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
> Ich hab meine Kreisgleichung abgeleitet und will sie jetzt
> nach x auflösen. Meine Lösung:
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right) \to \sqrt{\frac{\left(\frac{2m}{-2+2x_{M}}\right)^{-2}-r^{2}+x_{M}^{2}}{2x_{M}}}=-x[/mm]
>
> Wenn ich nun angebe, dass dieses x für alle negativen
> Zahlen [mm]\ID[/mm] = [mm]\IR \{ x \le 0 \}[/mm] gild, bin ich dann aus dem
> Schneider? Ich kann ja nicht einfach eine Wurzel aus [mm]-x^2[/mm]
> ziehen.
>
Du kannst aber aus [mm] -x=\wurzel{...} [/mm] folgern [mm] x=-\wurzel{...}
[/mm]
Aber das Ergebnis passt auch nicht.
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{m}{-2+2x_{M}}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-2+2x_{M}}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2*\bruch{x_{M}-1}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x_{M}-1}{m}=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x_{M}-1)²}{m²}=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x_{M}-1)²}{m²}-r^{2}=-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}+r^{2}=\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}+r^{2}=x²-2x_{M}x+x_{M}^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x²\underbrace{-2x_{M}}_{p}*x+\underbrace{x_{M}^{2}-r²+\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}}_{q}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt die Werte für x per p-q-Formel ermitteln.
Marius
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p-q-Formel? Ich denke die finde ich sicher in meiner Formelsammlung oder bei Wikipedia....?
Vielen Dank...irgendwie nicht schwer.
Zeile 3 ist genauso genial wie simpel....ich sollte mehr kürzen.
Grüße
Th.
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> p-q-Formel? Ich denke die finde ich sicher in meiner
> Formelsammlung oder bei Wikipedia....?
>
Die dürfte in der Tat sehr einfach zu finden sein! Mit der pq-Formel kannst du quadratische Gleichungen der Form [mm] x^2+px+q=0 [/mm] lösen.
Link zur Mathebank: https://matheraum.de/wissen/PQFormel
> Vielen Dank...irgendwie nicht schwer.
> Zeile 3 ist genauso genial wie simpel....ich sollte mehr
> kürzen.
> Grüße
> Th.
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Hallo
Ich hab jetzt die beiden Antworten meiner Fragen umsetzen wollen und stoße dabei auf das Problem, dass der Radikant der 1. Ableitung < 0 wird.
Vorgegebene Daten:
r = 103
[mm] m=tan\alpha; [/mm] tan(35)=0,7002075382
Selbst berechnete Daten:
[mm] M_{R}:(12,88009896;105,554182) [/mm] wobei [mm] M_{R} [/mm] = (x;y) des Kreismittelpunktes ist.
Verwendete Kreisfunktion
[mm] (x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}
[/mm]
Nach y aufgelöst:
[mm] y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}
[/mm]
Ableitung der nach y aufgelösten Kreisfunktion:
[mm] y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
m einsetzen:
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)
[/mm]
und zur quadratischen Gleichung umformen:
[mm] 0=x^{2}-2xx_{M}+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}
[/mm]
jetzt noch in die "Mitternachtsformel" oder die p-q-Formel eingesetzt und Juhu.
a=1
[mm] b=-2x_{M}
[/mm]
[mm] c=x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}
[/mm]
Eingesetzt ergibt das dann:
[mm] x_{1/2}=\frac{-\left(-2x_{M}\right)\pm\sqrt{-2x_{M}^{2}-4\left(1\right)\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}}{2*1}
[/mm]
oder P-q-Formel:
[mm] x_{1/2}=-\frac{-2x_{M}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-2x_{M}}{2}\right)-\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}
[/mm]
Das Problem ist nun (Mitternachtsformel):
[mm] x_{1/2}=\frac{25,76019792\pm\sqrt{663,5877969-4\left(165,8969492+201,56417+1069\right)}}{2}
[/mm]
D.h. Der Radikant ist immer negativ.
Was nun? Komplexe Zahlen hab ich nie gehabt. Hab halt nur Fachabi auf´m 2. Bildungsweg. Gut. Ich weiß, dass mein gesuchtes x auf alle Fälle im Negatieven bereich ist. Hilft mir aber auch nicht weiter.
Könnt ihr mir helfen? Ich hoffe ja, dass es einfach nur ein dummer Rechenfehler ist den ich gemacht habe.
Grüße
SM
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Hallo Semimathematiker,
> Hallo
> Ich hab jetzt die beiden Antworten meiner Fragen umsetzen
> wollen und stoße dabei auf das Problem, dass der Radikant
> der 1. Ableitung < 0 wird.
>
> Vorgegebene Daten:
> r = 103
> [mm]m=tan\alpha;[/mm] tan(35)=0,7002075382
> Selbst berechnete Daten:
> [mm]M_{R}:(12,88009896;105,554182)[/mm] wobei [mm]M_{R}[/mm] = (x;y) des
> Kreismittelpunktes ist.
>
> Verwendete Kreisfunktion
> [mm](x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}[/mm]
Leiten wir das mal an, wobei [mm]y=y\left(x\right)[/mm] ist.
Dann erhalten wir:
[mm]2*\left(x-x_{M}\right)+2*y'\left(x\right)*\left(y-y_{M}}\right)=0[/mm]
[mm]\gdw \left(x-x_{M}\right)+y'\left(x\right)*\left(y-y_{M}}\right)=0[/mm]
> Nach y aufgelöst:
> [mm]y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}[/mm]
> Ableitung der nach y aufgelösten Kreisfunktion:
>
> [mm]y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
> m einsetzen:
>
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)[/mm]
> und zur quadratischen Gleichung umformen:
>
Wenn ich die Kreisgleichung ableite, wie oben beschrieben, erhalte ich:
[mm]\Rightarrow y'\left(x\right)=-\bruch{x-x_{M}}{y-y_{M}}=-\bruch{x-x_{M}}{\wurzel{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}} \ \left(1\right)[/mm]
> [mm]0=x^{2}-2xx_{M}+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}[/mm]
>
> jetzt noch in die "Mitternachtsformel" oder die p-q-Formel
> eingesetzt und Juhu.
> a=1
> [mm]b=-2x_{M}[/mm]
> [mm]c=x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}[/mm]
> Eingesetzt ergibt das dann:
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-\left(-2x_{M}\right)\pm\sqrt{-2x_{M}^{2}-4\left(1\right)\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}}{2*1}[/mm]
> oder P-q-Formel:
>
> [mm]x_{1/2}=-\frac{-2x_{M}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-2x_{M}}{2}\right)-\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}[/mm]
>
> Das Problem ist nun (Mitternachtsformel):
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{25,76019792\pm\sqrt{663,5877969-4\left(165,8969492+201,56417+1069\right)}}{2}[/mm]
> D.h. Der Radikant ist immer negativ.
> Was nun? Komplexe Zahlen hab ich nie gehabt. Hab halt nur
> Fachabi auf´m 2. Bildungsweg. Gut. Ich weiß, dass mein
> gesuchtes x auf alle Fälle im Negatieven bereich ist. Hilft
> mir aber auch nicht weiter.
> Könnt ihr mir helfen? Ich hoffe ja, dass es einfach nur ein
> dummer Rechenfehler ist den ich gemacht habe.
Da ist ein "x" verlorengegangen.
[mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2\red{x}+2x_{M}\right)=-\bruch{x-x_{M}}{\wurzel{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}[/mm]
Löse diese Formel jetzt nach x auf.
>
> Grüße
> SM
>
Gruß
MathePower
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> > Verwendete Kreisfunktion
> > [mm](x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}[/mm]
>
>
> Leiten wir das mal an, wobei [mm]y=y\left(x\right)[/mm] ist.
>
> Dann erhalten wir:
>
> [mm]2*\left(x-x_{M}\right)+2*y'\left(x\right)*\left(y-y_{M}}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(x-x_{M}\right)+y'\left(x\right)*\left(y-y_{M}}\right)=0[/mm]
>
>
> > Nach y aufgelöst:
> > [mm]y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}[/mm]
> > Ableitung der nach y aufgelösten Kreisfunktion:
> >
> >
> [mm]y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
> > m einsetzen:
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2\red{x}+2x_{M}\right)=-\bruch{x-x_{M}}{\wurzel{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}[/mm]
>
> Löse diese Formel jetzt nach x auf.
Wozu denn erst nach y auflösen und nochmals ableiten,
wenn am Ende ohnehin eine Auflösung nach x gefragt ist ??
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Ich mache das über die Ableitung, weil ich nur die Steigung gegeben habe und die Tangente eines Kreises brauche.
Also. Jetzt wird es etwas länger.
Ich kann euch keine Originalaufgabe geben, weil es keine gibt. Also kann ich euch nur soviel sagen, dass ich eine Gerade
y= - 0,1943803091x+3,13
habe, die eine Kreisfunktion tangiert.
Diese Gerade ist 6,9 lang und endet bei x =0
m entspricht dabei einem Winkel von 11°
über [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 =c^2 [/mm] habe ich herausgefunden, dass die Gerade bei [mm] x_{1}=-6,773227566 [/mm] beginnt.
An dieser Stelle endet wiederum der Kreis, dessen Tangente ich eben beschrieb.
Soweit alles noch nicht wild.
Daten zum Kreis:
r = 103
Also bin ich hingegangen und habe, wie folgt, über Winkelfunktionen den Kreismittelpunkt erarbeitet:
Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks (A), welches sich aus [mm] r_{1}=103m, [/mm] t=6,90m und seiner Hypothenuse c ergibt, lässt sich das rechtwinklige Dreieck (B) konstruieren, welches in Verbindung mit (A) ein Rechteck bildet.
Jetzt kann man den 90°-Winkel, welcher sich aus den rechtwinkligen Dreiecken A und B an der Stelle (0;3,13) ergibt, genommen werden um die 11° der Steigung m aus der Geradengleichung abzuziehen.
[mm] -\alpha_{(C)}=90°-(180°-90°-tan^{-1}(\frac{6,90}{103}))-11°
[/mm]
Daraus ergibt sich das 3. Rechtwinklige Dreieck, dessen Katethen mir den Kreismittelpunkt zeigen:
[mm] -\alpha_{(C)}=-7,167465285°\Rightarrow\alpha_{(C)}=7,167465285°
[/mm]
Werte für [mm] (x_{M_{R}};y_{M_{R}})
[/mm]
Während die horizontale Kathete von (C) den x-Wert bereits angibt, muss zur vertikalen Kathete der Wert 3,13 (vgl. Geradenfunktion oben) hinzugezählt werden.
Horizontale Kathete a
[mm] sin\alpha_{(C)}=\frac{a}{c};sin\alpha_{(C)}*c=a;sin(7,167465285)_{(C)}*103,2308578m=12,88009896m
[/mm]
Vertikale Kathete b
[mm] cos\alpha_{(C)}=\frac{b}{c};cos\alpha_{(C)}*c=b;cos(7,167465285)_{(C)}*103,2308578m=102,424182m
[/mm]
(Für die Absolutwerte muss zur vertikalen K. 3,13 hinzugezählt werden)
[mm] \Rightarrow M_{R}:(x_{M_{R}};y_{M_{R}})
[/mm]
[mm] M_{R}:(12,88009896;105,554182)
[/mm]
Wie gesagt, zur Kreisgleichung weiß ich nur den Radius r = 103 und dass dieser Kreis 2 Tangenten besitzt.
Die erste habe ich oben ausgeführt, die 2. hat folgende Daten:
Strecke der Gleichung = 96
[mm] \gamma [/mm] = 35°
[mm] \Rightarrow m=tan\alpha; [/mm] tan(35)=0,7002075382
Negative Steigung [mm] \Rightarrow [/mm] m= -0,7002075382
Da ich jetzt nur (x;y) des Kreismittelpunkts habe und die Steigung der 2. Gleichung muss ich über die Ableitung der Kreisfunktion:
[mm] (x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}
[/mm]
auf den Berührpunkt zwischen Kreisfunktion und 2. Gerade/Tangente schließen.
Also Kreisgleichung nach y auflösen:
[mm] y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}
[/mm]
Dann ableiten (Zum Ableiten habe ich die Kettenglieder aufgeteilt):
[mm] a=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] b=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] c=y_{M}
[/mm]
Ableitung der Kettenglieder:
[mm] a´=\frac{1}{2}\left(r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\left(r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a´=\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}
[/mm]
[mm] b´=0-2\left(x-x_{M}\right)=-2x+2x_{M}
[/mm]
c´=0
Dann wieder zusammensetzen nach dem Schema:
[mm] f_{\left(u\left(x\right)\right)}=f´´_{\left(u\right)}*u´\left(x\right)
[/mm]
Also:
[mm] y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
Auflösen nach x mit y´=m
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)
[/mm]
Wenn ich es dann also 0-gesetzt habe,
[mm] 0=x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}
[/mm]
müsste ich es noch in die "Mitternachtsformel / P-q-Formel" einsetzen und hätte dann den Punkt an welchem meine 2. Gerade den Kreis tangiert.
Mit der Mitternachtsformel [mm] x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} [/mm] :
a=1
[mm] b=-2x_{M}
[/mm]
[mm] c=x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2}=\frac{-\left(-2x_{M}\right)\pm\sqrt{-2x_{M}^{2}-4\left(1\right)\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}}{2*1}
[/mm]
Jetzt setze ich meine Werte ein:
[mm] x_{1/2}=\frac{25,76019792\pm\sqrt{663,5877969-4\left(165,8969492+\frac{\left(-1+12,88009896\right)^{2}}{-0,7002075382}+1069\right)}}{2}
[/mm]
Jetzt hab ich einen negativen Radikanten.
Der Hintergrund: Die neugebaute Große Olympiaschanze in Garmisch.
Ich hab mir die offizielle Bestätigung der Fis und daher die Daten, die ich euch gegeben habe.
Grüße
SM
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Deine geometrische Beschreibung scheint mir noch
keineswegs klar !
Könntest du eine Figur der Situation (inkl. Koordinaten-
system) angeben ?
Wenn es um eine Sprungschanze geht: Ist die Strecke
der Länge 6.9 das letzte Stück vor dem Absprung (der
Schanzen-"Tisch") - oder was sonst ?
Was bedeutet der Kreis ? Ist die Anlaufspur vor dem
Schanzentisch kreisförmig gebogen (was ich zwar bezweifle) -
oder beschreibt der Kreisbogen ein Stück des Geländes, auf
welches die Springer hinunter segeln ?
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Du lagst sehr richtig im ersten Teil und auch den 2. kannst du glauben weil ich hier die Schanzenprofilbestätigung der Großen Olyschanze hab.
Die FIS-Vorgaben auch. Wenn du eine Kopie davon willst, brauch ich deine E-mail-Add.
Also schieb deine Zweifel ruhig beiseite. 6,90m bei einem Neigungswinkel von [mm] \alpha [/mm] 11°. Der zeigt also nach unten. Wo der endet, ist (0 ; 3,13).
Dieser Tisch tangirt also die Kreisgleichung, welche weiter im - ist. Der Beginn der Krisgleichung und das gleichzeitige Ende des Anlauf, welcher eben die beschriebene Strecke 2 ist nicht angegeben kann man so auf anhieb höchstens sehr grob schätzen. Und jetzt interessiert mich der Punkt Bp (Berührpunkt). Der eigentliche Anlauf ist dann auch wieder eine Gerade.
Was nun ich bekomme langsam echt die Kriese. Kann doch gar nicht schwer sein. Ist doch eigentlich einfachste Mathematik, gespickt mit ein paar schönen neuen Sachen die man noch nicht kannte.
Ich hoffe echt, dass ihr mir helfen könnt.
Grüße
SM
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Deine geom. Beschreibung ist weter unklar. man kann hier leicht Bilder (jpg oder png) anhaengen, oder nen link.guck unter dem Eingabefenster nach, da steht wie es geht!
2. tangenten an einen Kreis findet man besser nicht mit der ableitung, sondern indem man benutzt, dass der Radius senkrecht auf der Tangente ist.
3. der Winkel ist nicht [mm] 11^o [/mm] , wenn die Laenge 6,9 und die Hoehe 3,13 ist!
Schreib doch genau, was gegeben ist. z.Bsp ist die 3,13 gegeben? oder die Steigung oder was.
Gruss leduart
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Wo kann ich was hochladen? ich find´s ehrlich nicht.
Grüße
SM
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Unter dem Fenster steht blau Bild-Anhang, draufklicken und das einfuegen. dann senden, dann kriegst du das hochladen angeboten.
oder einfach (img) 1 (img) und die runden Klammern durch eckige ersetzen.
Gruss leduart
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Hallo Semimathematiker,
> Ich mache das über die Ableitung, weil ich nur die Steigung
> gegeben habe und die Tangente eines Kreises brauche.
>
> Also. Jetzt wird es etwas länger.
> Ich kann euch keine Originalaufgabe geben, weil es keine
> gibt. Also kann ich euch nur soviel sagen, dass ich eine
> Gerade
> y= - 0,1943803091x+3,13
> habe, die eine Kreisfunktion tangiert.
> Diese Gerade ist 6,9 lang und endet bei x =0
> m entspricht dabei einem Winkel von 11°
> über [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 =c^2[/mm] habe ich herausgefunden, dass die
> Gerade bei [mm]x_{1}=-6,773227566[/mm] beginnt.
> An dieser Stelle endet wiederum der Kreis, dessen Tangente
> ich eben beschrieb.
> Soweit alles noch nicht wild.
> Daten zum Kreis:
> r = 103
> Also bin ich hingegangen und habe, wie folgt, über
> Winkelfunktionen den Kreismittelpunkt erarbeitet:
> Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks (A), welches sich
> aus [mm]r_{1}=103m,[/mm] t=6,90m und seiner Hypothenuse c ergibt,
> lässt sich das rechtwinklige Dreieck (B) konstruieren,
> welches in Verbindung mit (A) ein Rechteck bildet.
> Jetzt kann man den 90°-Winkel, welcher sich aus den
> rechtwinkligen Dreiecken A und B an der Stelle (0;3,13)
> ergibt, genommen werden um die 11° der Steigung m aus der
> Geradengleichung abzuziehen.
>
> [mm]-\alpha_{(C)}=90°-(180°-90°-tan^{-1}(\frac{6,90}{103}))-11°[/mm]
>
> Daraus ergibt sich das 3. Rechtwinklige Dreieck, dessen
> Katethen mir den Kreismittelpunkt zeigen:
>
> [mm]-\alpha_{(C)}=-7,167465285°\Rightarrow\alpha_{(C)}=7,167465285°[/mm]
>
> Werte für [mm](x_{M_{R}};y_{M_{R}})[/mm]
>
> Während die horizontale Kathete von (C) den x-Wert bereits
> angibt, muss zur vertikalen Kathete der Wert 3,13 (vgl.
> Geradenfunktion oben) hinzugezählt werden.
>
> Horizontale Kathete a
>
> [mm]sin\alpha_{(C)}=\frac{a}{c};sin\alpha_{(C)}*c=a;sin(7,167465285)_{(C)}*103,2308578m=12,88009896m[/mm]
>
> Vertikale Kathete b
>
> [mm]cos\alpha_{(C)}=\frac{b}{c};cos\alpha_{(C)}*c=b;cos(7,167465285)_{(C)}*103,2308578m=102,424182m[/mm]
>
> (Für die Absolutwerte muss zur vertikalen K. 3,13
> hinzugezählt werden)
>
> [mm]\Rightarrow M_{R}:(x_{M_{R}};y_{M_{R}})[/mm]
>
> [mm]M_{R}:(12,88009896;105,554182)[/mm]
>
> Wie gesagt, zur Kreisgleichung weiß ich nur den Radius r =
> 103 und dass dieser Kreis 2 Tangenten besitzt.
> Die erste habe ich oben ausgeführt, die 2. hat folgende
> Daten:
> Strecke der Gleichung = 96
> [mm]\gamma[/mm] = 35°
> [mm]\Rightarrow m=tan\alpha;[/mm] tan(35)=0,7002075382
> Negative Steigung [mm]\Rightarrow[/mm] m= -0,7002075382
>
> Da ich jetzt nur (x;y) des Kreismittelpunkts habe und die
> Steigung der 2. Gleichung muss ich über die Ableitung der
> Kreisfunktion:
> [mm](x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}[/mm]
> auf den Berührpunkt zwischen Kreisfunktion und 2.
> Gerade/Tangente schließen.
> Also Kreisgleichung nach y auflösen:
> [mm]y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}[/mm]
> Dann ableiten (Zum Ableiten habe ich die Kettenglieder
> aufgeteilt):
>
> [mm]a=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
> [mm]b=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}[/mm]
> [mm]c=y_{M}[/mm]
> Ableitung der Kettenglieder:
>
> [mm]a´=\frac{1}{2}\left(r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\left(r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow a´=\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}[/mm]
>
> [mm]b´=0-2\left(x-x_{M}\right)=-2x+2x_{M}[/mm]
> c´=0
>
> Dann wieder zusammensetzen nach dem Schema:
>
> [mm]f_{\left(u\left(x\right)\right)}=f´´_{\left(u\right)}*u´\left(x\right)[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
[mm]y'=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
>
> Auflösen nach x mit y´=m
>
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)[/mm]
Hier ist ein x verschwunden:
[mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2\red{x}+2x_{M}\right)[/mm]
> Wenn ich es dann also 0-gesetzt habe,
>
> [mm]0=x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}[/mm]
> müsste ich es noch in die "Mitternachtsformel /
> P-q-Formel" einsetzen und hätte dann den Punkt an welchem
> meine 2. Gerade den Kreis tangiert.
>
> Mit der Mitternachtsformel
> [mm]x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/mm] :
>
> a=1
> [mm]b=-2x_{M}[/mm]
> [mm]c=x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-\left(-2x_{M}\right)\pm\sqrt{-2x_{M}^{2}-4\left(1\right)\left(x_{M}^{2}+\frac{\left(-1+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}\right)}}{2*1}[/mm]
>
> Jetzt setze ich meine Werte ein:
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{25,76019792\pm\sqrt{663,5877969-4\left(165,8969492+\frac{\left(-1+12,88009896\right)^{2}}{-0,7002075382}+1069\right)}}{2}[/mm]
>
> Jetzt hab ich einen negativen Radikanten.
>
> Der Hintergrund: Die neugebaute Große Olympiaschanze in
> Garmisch.
> Ich hab mir die offizielle Bestätigung der Fis und daher
> die Daten, die ich euch gegeben habe.
>
> Grüße
> SM
Gruß
MathePower
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Ja, MathePower....sorry.....hab ich jetzt irgendwas übersehen oder wolltest du mich nur Grüßen?
Grüße
SM
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Hei Mathepower
Du machst deinem Namen alle Ehre und mich glücklich. Ich checks morgen früh gleich mal. Wenn das alles ist, dann mach ich einen Luftsprung.
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Hallo Semimathematiker,
> Ja, MathePower....sorry.....hab ich jetzt irgendwas
> übersehen oder wolltest du mich nur Grüßen?
Ich wollte Dich nur nochmal auf das fehlende "x" bei y' hinweisen.
>
> Grüße
> SM
Gruß
MathePower
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hallo SM !
Mit Hilfe der Zeichnung ist es mir jetzt gelungen, mir die
geometrische Situation vorzustellen. Wenn ich es richtig sehe,
liegt der Ursprung O(0/0) deines Koordinatensystems im Punkt
3.13 m senkrecht unter dem Absprungpunkt K(0/3.13) auf
dem Boden (bzw. auf dem Schnee der Piste ?), also da wo die
"Landebahn" beginnt.
Der geradlinige Teil am Ende des Anlaufs, also der "Schanzen-
tisch" entspricht der Strecke [mm] \overline{PK}, [/mm] wobei P(-6.77/4.45).
Im Punkt P schliesst links das kreisbogenförmige Stück QP der
Anlaufbahn an. Im Punkt Q schliesst dann tangential zum
Kreisbogen das geradlinige Anfangsstück [mm] \overline{RQ} [/mm] der
Anlaufbahn an, dessen Neigungswinkel 35° beträgt.
Was deine Angabe "Strecke der Gleichung = 96" bedeuten soll,
ist mir unklar. Ist dies die Länge der Strecke [mm] \overline{RQ} [/mm] ?
(O.K., nach nochmaliger Besichtigung der Zeichnung sehe ich,
dass dies so ist).
Soweit die geometrische Situation.
Und nun meine Frage: was genau war eigentlich gesucht ?
In diesem thread sehen wir zum Teil anscheinend fürchterlich
komplizierte Formeln und Rechnungen; dabei ist die geometrische
Situation - wenn man sie denn auch klar wiedergibt - doch recht
elementar. Differentialrechnung ist nach meiner Meinung nicht
erforderlich.
Wenn du uns also jetzt mal einfach mitteilst, was du bei der
Schanzengeometrie genau berechnen wolltest, dann können wir
dir mit Sicherheit einen viel einfacheren Lösungsweg aufzeigen.
LG al-Chwarizmi
P.S.: Meine Lösungen für die Punkte Q und R (siehe oben)
wären übrigens:
Q(-46.2/21.2) , R(-124.8/76.2)
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> hallo SM !
>
> Mit Hilfe der Zeichnung ist es mir jetzt gelungen, mir die
> geometrische Situation vorzustellen. Wenn ich es richtig
> sehe, liegt der Ursprung O(0/0) deines Koordinatensystems im
> Punkt 3.13 m senkrecht unter der Absprungpunkt K(0/3.13) auf
> dem Boden (bzw. auf dem Schnee der Piste ?), also da wo
> die "Landebahn" beginnt.
Der Ursprung O (0/0) liegt auf dem Boden / sozusagen auf dem Schnee der Piste auf dem gelandet wird, ja. Ende des Tisches ist dann [mm] x_{1} [/mm] = 0 ; [mm] y_{1} [/mm] = 3,13. Die springen also aus einer höhe von 3,13 Metern ab.
> Der geradlinige Teil am Ende des Anlaufs, also der
> "Schanzen- tisch" entspricht der Strecke [mm]\overline{PK},[/mm] wobei
> P(-6.77/4.45).
> Im Punkt P schliesst links das kreisbogenförmige Stück QP
> der Anlaufbahn an. Im Punkt Q schliesst dann tangential zum
> Kreisbogen das geradlinige Anfangsstück [mm]\overline{RQ}[/mm] der
> Anlaufbahn an, dessen Neigungswinkel 35° beträgt.
genau
> Was deine Angabe "Strecke der Gleichung = 96" bedeuten
> soll, ist mir unklar. Ist dies die Länge der Strecke
> [mm]\overline{RQ}[/mm] ?
> (O.K., nach nochmaliger Besichtigung der Zeichnung sehe
> ich, dass dies so ist).
>
> Soweit die geometrische Situation.
> Und nun meine Frage: was genau war eigentlich gesucht ?
[mm] (x_{3} [/mm] ; [mm] y_{3} [/mm] . Also der Berührpunkt zwischen Anlauf e und "Ausgleichsbogen" r
> In diesem thread sehen wir zum Teil anscheinend
> fürchterlich komplizierte Formeln und Rechnungen; dabei ist die
> geometrische Situation - wenn man sie denn auch klar wiedergibt - doch
> recht elementar. Differentialrechnung ist nach meiner Meinung
> nicht erforderlich.
Auf Grund der recht mageren Daten würde ich dir da wiedersprechen. Genau soll´s halt auch sein
> Wenn du uns also jetzt mal einfach mitteilst, was du bei
> der
> Schanzengeometrie genau berechnen wolltest, dann können
> wir
> dir mit Sicherheit einen viel einfacheren Lösungsweg
> aufzeigen.
Berührpunkt "linke" Tangente und Kreis
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hallo SM !
> > Und nun meine Frage: was genau war eigentlich gesucht ?
>
> [mm](x_{3}[/mm] ; [mm]y_{3}[/mm] . Also der Berührpunkt zwischen Anlauf e und
> "Ausgleichsbogen" r
Mit meinen vorher eingeführten Bezeichnungen wäre dies der
Punkt Q.
> > In diesem thread sehen wir zum Teil anscheinend
> > fürchterlich komplizierte Formeln und Rechnungen; dabei ist die
> > geometrische Situation - wenn man sie denn auch klar
> > wiedergibt - doch recht elementar. Differentialrechnung ist
> > nach meiner Meinung nicht erforderlich.
>
> Auf Grund der recht mageren Daten würde ich dir da
> wiedersprechen. Genau soll´s halt auch sein
Genau kann man's mit oder ohne Differentialrechnung machen !
Ich gehe nun einmal davon aus, dass die Koordinaten
des Punktes P(-6.77/4.45) schon feststehen. P ist der
rechte Endpunkt des Kreisbogens, in welchem die
Tangente den Steigungswinkel -11° hat. Gesucht ist
der linke Endpunkt des Kreisbogens, in welchem die
Tangente den Steigungswinkel -35° hat.
Ich würde einen Lösungsweg mittels Vektoren empfehlen:
Wir betrachten die Vektoren [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] und [mm] \overrightarrow{MQ},
[/mm]
wobei M der Kreismittelpunkt zum Bogen QP ist.
Beide Vektoren haben die Länge r=103.
[mm] \overrightarrow{PM} [/mm] hat den Richtungswinkel [mm] 90°-11°=79°,\overrightarrow{PM} [/mm] den
Richtungswinkel 270°-35°=235°.
Dann ist
[m]\ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MQ}=\vektor{103*cos(79°)\\103*sin(79°)}+\vektor{103*cos(235°)\\103*cos(235°)}=\vektor{-39.43\\16.73}[/m]
Addiert man die Komponenten dieses Vektors zu den Koordi-
naten von P , so erhält man jene des Punktes Q:
Q(-46.20/21.18)
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") al-Chwarizmi
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> Ich gehe nun einmal davon aus, dass die Koordinaten
> des Punktes P(-6.77/4.45) schon feststehen. P ist der
> rechte Endpunkt des Kreisbogens, in welchem die
> Tangente den Steigungswinkel -11° hat. Gesucht ist
> der linke Endpunkt des Kreisbogens, in welchem die
> Tangente den Steigungswinkel -35° hat.
>
> Ich würde einen Lösungsweg mittels Vektoren empfehlen:
>
> Wir betrachten die Vektoren [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{MQ},[/mm]
> wobei M der Kreismittelpunkt zum Bogen QP ist.
> Beide Vektoren haben die Länge r=103.
> [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] hat den Richtungswinkel
> [mm]90°-11°=79°,\overrightarrow{[red]MQ? [/red]}[/mm] den
> Richtungswinkel 270°-35°=235°.
Das heißt also, du legst den Ursprung deiner Vektoren in [mm] M_{r1} [/mm] und verwendest die Rotationsmatrix? Ähm. Kommt dann, vermute ich in der 13. Klasse dran. Welche ist das denn? Drehst du um x, y oder z? Ich würde ja um z drehen.
>
> Dann ist
>
> [m]\ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MQ}=\vektor{103*cos(79°)\\103*sin(79°)}+\vektor{103*cos(235°)\\103*cos(235°)}=\vektor{-39.43\\16.73}[/m]
>
> Addiert man die Komponenten dieses Vektors zu den Koordi-
> naten von P , so erhält man jene des Punktes Q:
>
> Q(-46.20/21.18)
>
Ich will eigentlich nicht konstruieren sondern ableiten, weil ich mit der Ableitung ganz schnell für jede Schanze Ende des Anlaufs und Beginn des Tisches bestimmen kann. Ansonsten würde ich das so machen (Ich hab ja schon den Mittelpunkt des Kreises bestimmt):
sin(35°) * 103 = 59,07837294
cos(35°) *103 = 84,37266056
[mm] x_{Q} [/mm] = 12,88009896 - 59,07837294 = -46,19827398
[mm] y_{Q} [/mm] = 105,554182 - 84,37266056 = 21,18152144
Hier aber nichts desto trotz meine Ableitung, die irgendwie immer noch nicht funktioniert. Vielleicht kann sie mir jemand von euch korrigieren.
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
[mm] \frac{m}{\left(-2x+2x_{M}\right)}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}
[/mm]
[mm] \frac{-2x+2x_{M}}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] 2*\frac{\left(-x+x_{M}\right)}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \frac{\left(-x+x_{M}\right)}{m}=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \frac{\left(-x+x_{M}\right)^{2}}{m}=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \frac{\left(-x+x_{M}\right)^{2}}{m}-r^{2}=-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] -\frac{\left(-x+x_{M}\right)^{2}}{m}+r^{2}=x^{2}-2xx_{M}+x_{M}^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-2xx_{M}+x_{M}^{2}+\frac{\left(-x+x_{M}\right)^{2}}{m}-r^{2}
[/mm]
Da ich jetzt noch das "x" in meiner zukünftigen Konstante habe, multipliziere ich noch mit "m"
[mm] 0=mx^{2}+x^{2}-2mx_{M}x-2x_{M}x+mx_{M}^{2}+x_{M}^{2}-r^{2}m
[/mm]
Jetzt muss die Quadratische Gleichung noch nach der allgemeinen Form ax+bx+c=0 umgestellt werden.
[mm] 0=\left(m+1\right)x^{2}+\left(-2mx_{M}-2x_{M}\right)x+mx_{M}^{2}+x_{M}^{2}-r^{2}m
[/mm]
und in die Lösungsform
[mm] x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
eingesetzt ergibt sich dann für x:
[mm] x_{1/2}=\frac{-\left(-2mx_{M}-2x_{M}\right)\pm\sqrt{\left(-2mx_{M}-2x_{M}\right)^{2}-4\left(m+1\right)\left(mx_{M}^{2}+x_{M}^{2}-r^{2}m\right)}}{2\left(m+1\right)}
[/mm]
Wenn ich jetzt meine Werte
a=m+1 = -tan(35) +1 =
[mm] b=-2mx_{M}-2x_{M} [/mm] = -2*-tan(35)*12,88009896-2*12,88009896 = -7,722713151
[mm] c=mx_{M}^{2}+x_{M}^{2}-r^{2}m =-tan(35)*12,88009896^2+12,88009896^2-103^2*-tan(35)
[/mm]
einsetze, hab ich einen negativen radikanten.
Bitte korrigiert das mal. Ich glaub ich stiere da schon zu lange drauf ;).
Vielen Dank
SM
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> > Wir betrachten die Vektoren [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] und
> > [mm]\overrightarrow{MQ},[/mm]
> > wobei M der Kreismittelpunkt zum Bogen QP ist.
> > Beide Vektoren haben die Länge r=103.
> > [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] hat den Richtungswinkel [mm]90°-11°=79°[/mm] ,
> > [mm]\ \overrightarrow{MQ}[/mm] den Richtungswinkel 270°-35°=235°.
> Das heißt also, du legst den Ursprung deiner Vektoren in
> [mm]M_{r1}[/mm] und verwendest die Rotationsmatrix? Ähm. Kommt dann,
> vermute ich in der 13. Klasse dran.
nee, nix Rotationsmatrix, ich verwende nur die
Polardarstellung der beiden Vektoren - also
nichts weiter als die elementaren Definitionen
von [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] .
> > [m]\ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MQ}=\vektor{103*cos(79°)\\103*sin(79°)}+\vektor{103*cos(235°)\\103*cos(235°)}=\vektor{-39.43\\16.73}[/m]
>
> >
> > Addiert man die Komponenten dieses Vektors zu den Koordi-
> > naten von P , so erhält man jene des Punktes Q:
> >
> > Q(-46.20/21.18)
> Ansonsten würde ich das so machen (Ich hab ja schon den
> Mittelpunkt des Kreises bestimmt):
> sin(35°) * 103 = 59,07837294
> cos(35°) *103 = 84,37266056
> [mm]x_{Q}[/mm] = 12,88009896 - 59,07837294 = -46,19827398
> [mm]y_{Q}[/mm] = 105,554182 - 84,37266056 = 21,18152144
klar, das ist eigentlich auch nichts anderes, als was ich
oben zu einem Schritt zusammengefasst habe.
so nebenbei: was du mit den vielen Dezimalstellen hier
bezweckst, ist mir nicht klar. Genauer als auf cm bauen
wohl auch die perfektesten Schanzenbauer nicht. 
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Jetzt hab ich es 3 mal verbessert und es funktioniert immer noch nicht. Der Radikant wird immer noch negativ.
Benötigte Werte:
m=-0,7002075382
[mm] x_{M} [/mm] =12,88009896
r = 103
Wie immer ganz genau ;)
[mm] y´=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
Auflösen nach x mit y´=m
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
[mm] \frac{m}{\left(-2x+2x_{M}\right)}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}
[/mm]
[mm] \frac{-2x+2x_{M}}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] 2*\frac{\left(-x+x_{M}\right)}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}
[/mm]
[mm] \left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}=-x^{2}+2xx_{M}-x_{M}^{2}+r^{2}
[/mm]
[mm] 0=-x^{2}+2xx_{M}-x_{M}^{2}-\left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}+r^{2}
[/mm]
[mm] 0=-x^{2}+2x_{M}x-x_{M}^{2}-\frac{x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}}{m^{2}}+r^{2}
[/mm]
[mm] 0=-m^{2}x^{2}+2m^{2}x_{M}^{2}x-m^{2}x_{M}^{2}-x^{2}+2x_{M}x-x_{M}^{2}+r^{2}
[/mm]
[mm] 0=-m^{2}x^{2}-x^{2}+2m^{2}x_{M}x+2x_{M}x-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}
[/mm]
Jetzt muss die Quadratische Gleichung noch nach der allgemeinen Form ax+bx+c=0 umgestellt werden.
[mm] 0=\left(-m^{2}-1\right)x^{2}+\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)x+\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)
[/mm]
und in die Lösungsform
[mm] x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
eingesetzt.
a, b, c eingesetzt ergibt sich dann für x:
[mm] x_{1/2}=\frac{-\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)\pm\sqrt{\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)^{2}-4\left(-m^{2}-1\right)\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)}}{2\left(-m^{2}-1\right)}
[/mm]
Werte von a, b und c
[mm] a=\left(-m^{2}-1\right)=\left(--0,7002075382^{2}-1\right)=-0,5097094034
[/mm]
[mm] b=\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)=13,13021511
[/mm]
[mm] c=\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)=-5286,052174
[/mm]
Einsetzten der Werte von a, b und c
[mm] x_{1/2}=\frac{-\left(13,13199639\right)\pm\sqrt{\left(13,13199639\right)^{2}-4\left(-0,5097094034\right)\left(-5286,052174\right)}}{2\left(-0,5097094034\right)}
[/mm]
So. Jetzt hab ich einen negativen Radikanten und damit keine Lösung.
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Hallo Semimathematiker,
> Jetzt hab ich es 3 mal verbessert und es funktioniert immer
> noch nicht. Der Radikant wird immer noch negativ.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") du hast dich fett verrechnet beim Einsetzen
> Benötigte Werte:
> m=-0,7002075382
> [mm]x_{M}[/mm] =12,88009896
> r = 103
> Wie immer ganz genau ;)
>
> [mm]y'=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
>
> Auflösen nach x mit y´=m
>
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)[/mm]
>
> [mm]\frac{m}{\left(-2x+2x_{M}\right)}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\frac{-2x+2x_{M}}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
>
> [mm]2*\frac{\left(-x+x_{M}\right)}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}=-x^{2}+2xx_{M}-x_{M}^{2}+r^{2}[/mm]
>
> [mm]0=-x^{2}+2xx_{M}-x_{M}^{2}-\left(\frac{-x+x_{M}}{m}\right)^{2}+r^{2}[/mm]
>
> [mm]0=-x^{2}+2x_{M}x-x_{M}^{2}-\frac{x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}}{m^{2}}+r^{2}[/mm]
>
> [mm] $0=-m^{2}x^{2}+2m^{2}x_{M}^{2}x-m^{2}x_{M}^{2}-x^{2}+2x_{M}x-x_{M}^{2}+r^{2}\red{m^2}$
[/mm]
>
> [mm]0=-m^{2}x^{2}-x^{2}+2m^{2}x_{M}x+2x_{M}x-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}[/mm]
>
> Jetzt muss die Quadratische Gleichung noch nach der
> allgemeinen Form ax+bx+c=0 umgestellt werden.
>
> [mm]0=\left(-m^{2}-1\right)x^{2}+\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)x+\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> und in die Lösungsform
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/mm]
>
> eingesetzt.
>
> a, b, c eingesetzt ergibt sich dann für x:
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)\pm\sqrt{\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)^{2}-4\left(-m^{2}-1\right)\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)}}{2\left(-m^{2}-1\right)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Werte von a, b und c
>
> [mm]a=\left(-m^{2}-1\right)=\left(--0,7002075382^{2}-1\right)=-0,5097094034[/mm]
ich erhalte [mm] $-m^2-1\approx [/mm] -1,490290596$
>
> [mm]b=\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)=13,13021511[/mm]
hier erhalte ich wieder etwas anderes:
[mm] $b\approx [/mm] 12,62998280$
>
> [mm]c=\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)=-5286,052174[/mm]
wieder anders
[mm] $c\approx [/mm] 4954,258275$
>
> Einsetzten der Werte von a, b und c
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-\left(13,13199639\right)\pm\sqrt{\left(13,13199639\right)^{2}-4\left(-0,5097094034\right)\left(-5286,052174\right)}}{2\left(-0,5097094034\right)}[/mm]
>
> So. Jetzt hab ich einen negativen Radikanten und damit
> keine Lösung.
Ich habe:
[mm] $-b\approx [/mm] -12,62998280$
[mm] $\sqrt{b^2-4ac}\approx \sqrt{12,62998280^2-4\cdot{}(-1,490290596)\cdot{}4954,258275}\approx \sqrt{2,969265452\cdot{}10^4}\approx [/mm] 172,3155666$
und [mm] $2a\approx [/mm] -2,980581192$
Zusammenmodeln musst du das aber
LG
schachuzipus
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Kreisfunktion:
[mm] (x-x_{M})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}
[/mm]
Auflösen nach y:
[mm] y=\sqrt{r^{2}-(x-x_{M})^{2}}+y_{M}
[/mm]
Nach x abgeleitet mit y´=m
[mm] m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2x+2x_{M}\right)
[/mm]
Nach x aufgelöst:
[mm] m=\left(\frac{-2x+2x_{M}}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)
[/mm]
[mm] m=\left(\frac{2*\left(-x+x_{M}\right)}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)
[/mm]
[mm] m*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}=-x+x_{M}
[/mm]
[mm] m^{2}*\left(r^{2}-x^{2}+2x_{M}x-x_{M}^{2}\right)=\left(-x+x_{M}\right)^{2}
[/mm]
[mm] m^{2}r^{2}-m^{2}x^{2}+2m^{2}x_{M}x-m^{2}x_{M}^{2}=x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-2x_{M}x+x_{M}^{2}-m^{2}r^{2}+m^{2}x^{2}-2m^{2}x_{M}x+m^{2}x_{M}^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+m^{2}x^{2}-2x_{M}x-2m^{2}x_{M}x+x_{M}^{2}-m^{2}r^{2}+m^{2}x_{M}^{2}
[/mm]
Jetzt muss die Quadratische Gleichung noch nach der allgemeinen Form ax+bx+c=0 umgestellt werden.
[mm] 0=\underbrace{\left(m^{2}+1\right)}_{=a}x^{2}+\underbrace{\left(-2m^{2}x_{M}-2x_{M}\right)}_{=b}x+\underbrace{\left(m^{2}x_{M}^{2}+x_{M}^{2}-m^{2}r^{2}\right)}_{=c}
[/mm]
Und das währe die eigentliche Lösung. Warum hab ich einen Vorzeichendreher drin? Ich hab doch beim Nullsetzen alles richtig gemacht....
[mm] 0=\underbrace{\left(-m^{2}-1\right)}_{=a}x^{2}+\underbrace{\left(2m^{2}x_{M}+2x_{M}\right)}_{=b}x+\underbrace{\left(-m^{2}x_{M}^{2}-x_{M}^{2}+r^{2}m^{2}\right)}_{=c}
[/mm]
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Semimathematiker!
Multipliziere Deine Gleichung mit $(-1)_$ ... et voilà: Du hast die gewünschte Lösung.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar
> Hallo Semimathematiker!
>
>
> Multipliziere Deine Gleichung mit [mm](-1)_[/mm] ... et voilà: Du
> hast die gewünschte Lösung.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Tut mir leid aber das hilft jetzt nicht wirklich weiter weil das ja eigentlich nur getürkt wäre. Ich hab das Ergebnis ja nicht hin um meins irgendwie anzugleichen sondern um, dank richtigen rechnens, drauf zu kommen.
Grüße
SM
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Semimathematiker!
Ich verstehe Dein Problem nicht. Du hast als Ergebnis eine Gleichung dastehen. Und diese darf ich doch mit einer Äquivalenzumfomung "belästigen", so wie das die Multiplikation mit $-1_$ ist.
Gruß
Loddar
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Das Problem ist doch, wenn das Ergebnis nicht da wäre, könntest du nicht sehen, dass alles mit - 1 multipliziert werden müsste. Du könntest dann nur sehen, dass deine x-Werte nicht stimmen. Vorausgesetzt, du hast die richtigen. Also ist die Frage: Wo ist in meiner Rechnung das Problem/der Fehler?
Grüße
SM
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Semimathematiker!
Wir reden hier doch über zwei äquivalente Gleichungen. Von daher gibt es keinen Fehler.
Gruß
Loddar
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Jetzt ist es mir klar warum du fragst.
Das 2. Ergebnis, also das "Richtige" ist natürlich "nicht bekannt". Sorry. hab´s wohl etwas salop formuliert. Ansonsten wäre das mit der Äquivalenzumformung natürlich klar....dann gäbe es aber auch kein Problem :D.
Grüße
SM
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:22 Fr 29.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Hallo
> > Ich hab meine Kreisgleichung abgeleitet und will sie
> jetzt
> > nach x auflösen. Meine Lösung:
> >
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right) \to \sqrt{\frac{\left(\frac{2m}{-2+2x_{M}}\right)^{-2}-r^{2}+x_{M}^{2}}{2x_{M}}}=-x[/mm]
>
> >
> > Wenn ich nun angebe, dass dieses x für alle negativen
> > Zahlen [mm]\ID[/mm] = [mm]\IR \{ x \le 0 \}[/mm] gild, bin ich dann aus dem
> > Schneider? Ich kann ja nicht einfach eine Wurzel aus [mm]-x^2[/mm]
> > ziehen.
> >
>
> Du kannst aber aus [mm]-x=\wurzel{...}[/mm] folgern [mm]x=-\wurzel{...}[/mm]
>
> Aber das Ergebnis passt auch nicht.
>
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right)[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{m}{-2+2x_{M}}=\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{-2+2x_{M}}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*\bruch{x_{M}-1}{m}=2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{x_{M}-1}{m}=\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}[/mm]
Hallo, hier geht kein genau-dann-wenn-Pfeil mehr.
Ab hier geht es nur mit [mm] "\Rightarrow" [/mm] weiter.
Gruß Abakus
>
> [mm]\gdw \bruch{(x_{M}-1)²}{m²}=r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{(x_{M}-1)²}{m²}-r^{2}=-\left(x-x_{M}\right)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw -\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}+r^{2}=\left(x-x_{M}\right)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw -\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}+r^{2}=x²-2x_{M}x+x_{M}^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw x²\underbrace{-2x_{M}}_{p}*x+\underbrace{x_{M}^{2}-r²+\bruch{(x_{M}-1)²}{m²}}_{q}[/mm]
>
> Daraus kannst du jetzt die Werte für x per p-q-Formel
> ermitteln.
>
> Marius
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> Hallo
> Ich hab meine Kreisgleichung abgeleitet und will sie jetzt
> nach x auflösen. Meine Lösung:
> [mm]m=\left(\frac{1}{2*\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{M}\right)^{2}}}\right)*\left(-2+2x_{M}\right) \to \sqrt{\frac{\left(\frac{2m}{-2+2x_{M}}\right)^{-2}-r^{2}+x_{M}^{2}}{2x_{M}}}=-x[/mm]
>
> Wenn ich nun angebe, dass dieses x für alle negativen
> Zahlen [mm]\ID[/mm] = [mm]\IR \{ x \le 0 \}[/mm] gild, bin ich dann aus dem
> Schneider? Ich kann ja nicht einfach eine Wurzel aus [mm]-x^2[/mm]
> ziehen.
>
> Danke für eure Mühe
> Th.
hallo Th. ,
ich habe die Beiträge zu deiner Frage durchgesehen und frage
mich, ob dies nicht vielleicht auch deutlich einfacher ginge,
z.B. mittels implizitem Ableiten.
Könntest du hier die ursprüngliche Aufgabenstellung posten,
die dich auf diese Frage geführt hat ?
Gruß al-Chw.
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