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PQFormel

Satz pq-Formel

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form
$ x^2+px+q=0 $ lauten für $ D =\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q \ge 0 $ (dabei nennt man $ D $ die Diskriminante der quadratischen Gleichung):

$ x_1=-\bruch{p}{2}+\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}\hspace{3cm}\left(\,=\,-\frac{p}{2}+\sqrt{D}\right) $

und
$ x_2=-\bruch{p}{2}-\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}\hspace{3cm}\left(\,=\,-\frac{p}{2}- \sqrt{D}\right) $

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}\hspace{3cm}\left(\,=\,-\frac{p}{2}\pm \sqrt{D}\right) $
;

für $ D < 0 $ hat die quadratische Gleichung keine relle Lösung.


Bemerkungen.

1.) Die pq-Formel ist ein Speziallfall der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

2.) In manchen Fällen führt der Satz von Vieta schneller zur gesuchten Lösung.

3.) $ D:=\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $ heißt Diskriminante. Es gilt damit:
Die Gleichung $ x^2+px+q=0 $ hat:
- keine reelle Lösung, falls $ D < 0 $
- genau eine reelle Lösung, falls $ D=0 $
- genau zwei reelle Lösungen, falls $ D > 0 $.

4.) Darunter, dass die Ausdrücke definiert sind, versteht man hier, dass für die Diskriminante $ \underbrace{D}_{=\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}} \ge 0 $ gilt. Es gilt nämlich:

$ x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $
$ \gdw $
(I) $ x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{D} $  
und $ \sqrt{D} $ (bzw. $ \sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}}}} $) ist (im Reellen) nur für $ \underbrace{D}_{=\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q}} \ge0 $ (wohl-)definiert!
(Wegen der Gleichung (I) gelten auch die Aussagen unter der Bemerkung 2.)!)


Beispiele.

1.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung $ -3\cdot{}x^2+6x+24=0 $.
Zunächst müssen wir uns um den Ausdruck vor dem $ x^2 $ kümmern, d.h., wir dividieren die Gleichung durch $ -3 $:
$ -3\cdot{}x^2+6x+24=0 $
$ \gdw $
$ x^2-2x-8=0 $.
Durch umschreiben erhalten wir die äquivalente Gleichung:
$ x^2+(-2)\cdot{}x+(-8)=0 $, d.h. hier ist $ p=-2 $ und $ q=-8 $.
Mit der p/q-Formel folgt also:
$ x_{1,2}=-\left(\frac{-2}{2}\right)\pm\wurzel{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=1\pm\wurzel{9}=1\pm3 $
und damit haben wir zwei reelle Lösungen:
$ x_1=4 $ $ (=1+3) $;
$ x_2=-2 $ $ (=1-3) $.

Man beachte auch:
Die Diskriminante $ D $ hatte hier den Wert $ D=\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)=9 > 0 $.
Mit dem Satz von Vieta hätte man überlegt:
$ -3\cdot{}x^2+6x+24=0 = -3(x^2-2x-8) $
-8 = 2*(-4) und -2 = 2+(-4) $ \Rightarrow x_1=-2 ; x_2=4 $

2.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung $ x^2-3x+100=0 $.
Durch umschreiben erhalten wir die äquivalente Gleichung:
$ x^2+(-3)\cdot{}x+100=0 $, d.h. hier ist $ p=-3 $ und $ q=100 $.
Die Diskriminante $ D $ hat hier also den Wert:
$ D=\left(\frac{-3}{2}\right)^2-100=\frac{9}{4}-\frac{400}{4}=\frac{-391}{4} < 0 $, also hat die Gleichung $ x^2-3x+100=0 $ keine reelle Lösung.

3.) Wir suchen die reellen Lösungen der Gleichung $ 3x^2-12x+13=2x^2-6x+4 $.
Wir formen diese Gleichung etwas um:
$ 3x^2-12x+13=2x^2-6x+4 $
$ \gdw $
$ (\star) $  $ x^2-6x+9=0 $
$ \gdw $
$ x^2+(-6)\cdot{}x+9=0 $.
Hier ist also $ p=-6 $ und $ q=9 $.
Die Diskriminante hat hier den Wert:
$ D=\left(\frac{-6}{2}\right)^2-9=9-9=0 $, also hat die Gleichung $ 3x^2-12x+13=2x^2-6x+4 $ nur eine reelle Lösung.
Nach der p/q-Formel gilt:
$ x_{1,2}=-\left(\frac{-6}{2}\right)\pm\wurzel{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-9} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=3\pm\wurzel{9-9}=3\pm0=3 $.
Also ist $ x_1=x_2=3 $ die einzige reelle Lösung der Gleichung $ 3x^2-12x+13=2x^2-6x+4 $.

(Dies kann man auch unmittelbar aus der Gleichung $ (\star) $ mittels der zweiten binomischen Formel ablesen!)


Beweis.

Der Beweis wird mit einer allgemein durchgeführten quadratischen Ergänzung geführt:

$ x^2+px+q=0 $
$ \gdw x^2+px+\underbrace{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-\left(\bruch{p}{2}\right)^2}_{=0}+q=0 $
$ \gdw \underbrace{\left( x+\bruch{p}{2}\right)^2}_{=x^2+px+\left(\bruch{p}{2}\right)^2}-\left(\bruch{p}{2}\right)^2+q=0 $
$ \gdw \left( x+\bruch{p}{2}\right)^2=\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q $             (Bemerkung: An dieser Stelle erkennen wir wegen $ \left( x+\bruch{p}{2}\right)^2=D\,, $
                                                       dass die Gleichung keine reelle Lösung im Falle $ D<0 $ hat:
                                                       Quadratzahlen von rellen Zahlen sind stets $ \ge 0 $!)
$ \gdw \left| x+\bruch{p}{2}\right|=\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $
$ \gdw +\left( x_1+\bruch{p}{2}\right)=\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} \;\;\vee\;\; -\left( x_2+\bruch{p}{2}\right)=\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $
$ \gdw x_1+\bruch{p}{2}=\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} \;\;\vee\;\; -x_2-\bruch{p}{2}=\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $
$ \gdw x_1=-\bruch{p}{2}+\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} \;\;\vee\;\; -x_2=\bruch{p}{2}+\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $
$ \gdw x_1=-\bruch{p}{2}+\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} \;\;\vee\;\; x_2=-\bruch{p}{2}-\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $
$ \gdw x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} $

Erstellt: Sa 04.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 25.05.2013 um 15:07 von Marcel
Weitere Autoren: informix, rebzdu, Teufel
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