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Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: tipp,Rückfrage,Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Di 12.07.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Es sei [mm] $\gamma:[0,2]\to \mathbb{C}, [/mm] t [mm] \mapsto 2t+2i\sin( \pi [/mm] t)$. Zeichnen Sie den Zyklus [mm] $\Gamma= \gamma+[4,0]$ [/mm] und tragen Sie die Umlaufzahlen [mm] $n_\Gamma$ [/mm] in die entsprechende Zusammenhangskomponente ein.
Berechnen Sie anschließend das Integral
[mm] $\integral_{\Gamma}{\frac{e^{i \pi z}}{(z-1-i)(z-3+i)} dz}$ [/mm]

kann mir jemand sagen, wie ich den Zyklus zeichne? ich habe keine Ahnung, wie ich vorgehen soll?

        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Di 12.07.2022
Autor: fred97

Hier

siehst du die Spur von [mm] \gamma: [/mm]

https://www.wolframalpha.com/input?i=parametric+plot+%282t%2C+2sin+%28+pi+t%29%29%2C+t%3D0..2

Nun noch zurück von 4 zu 0, dann hast Du [mm] \Gamma. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Di 12.07.2022
Autor: nkln

Hi Fred,

ist so die weiterführende Zeichnung richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]

ich habe beim Plot gesehen, dass da nur [mm] $sin(\pi [/mm] t)$ steht anstatt [mm] $2i*\sin(\pi [/mm] t)$ macht das einen Unterschied? wie ist außerdem die Pfeilrichtung?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Di 12.07.2022
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> ist so die weiterführende Zeichnung richtig?
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> ich habe beim Plot gesehen, dass da nur [mm]sin(\pi t)[/mm] steht
> anstatt [mm]2i*\sin(\pi t)[/mm] macht das einen Unterschied?

Ja, ich hab es inzwischen verbessert. Schau Dir den Plot nochmal an.

In Deiner Skizze solltest Du dann den Bogen nach unten zwischen 0 und 2 und den Bogen nach oben zwischen 2 und 4 entfernen.

Mit "zurück von 4 bis 0" meinte ich längs der reellen Achse, so verstehe ich jedenfalls die Notation $ [mm] \Gamma= \gamma+[4,0] [/mm] $.

> wie ist
> außerdem die Pfeilrichtung?
>  

Starte von 0 entlang der sinusförmigen Kurve bis zu 4 und dann zurück auf der reellen achse bis 0.

Bezug
                                
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Di 12.07.2022
Autor: nkln

Hi,

danke für die Hilfe!

ich habe die umlaufzahl mal eingetragen

[Dateianhang nicht öffentlich]

kann ich das so machen?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Di 12.07.2022
Autor: fred97


> Hi,
>  
> danke für die Hilfe!
>  
> ich habe die umlaufzahl mal eingetragen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> kann ich das so machen?

Ja, das kannst du

Bezug
                                                
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Di 12.07.2022
Autor: nkln

Hi Fred,

wieso ist bei $t=3$ der funktionswert $-2i$ ?

wenn ich [mm] $\gamma:[0,2]\to \mathbb{C},t \mapsto [/mm] 2t+2i [mm] \sin(\pi [/mm] t)$ benutze und dort $y(3)$ ist das doch gar nicht definiert,da der Definitionsbereich von [mm] $\gamma$ [/mm] doch nur $[0,2]$ ist? Aber in der Abbildung ist $t=3$ der funktionswert $-2i$,wieso?

Bezug
                                                        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 12.07.2022
Autor: HJKweseleit


> Hi Fred,
>  
> wieso ist bei [mm]t=3[/mm] der funktionswert [mm]-2i[/mm] ?
>  
> wenn ich [mm]\gamma:[0,2]\to \mathbb{C},t \mapsto 2t+2i \sin(\pi t)[/mm]
> benutze und dort [mm]y(3)[/mm] ist das doch gar nicht definiert,da
> der Definitionsbereich von [mm]\gamma[/mm] doch nur [mm][0,2][/mm] ist? Aber
> in der Abbildung ist [mm]t=3[/mm] der funktionswert [mm]-2i[/mm],wieso?

Du verwechselst einiges.

Mit Funktionswert meinst du anscheinend nicht den Integranden, sondern den Imaginärteil des Weges.

Die Stelle, von der du sprichst, entspricht nicht t=3. t geht tatsächlich nur von 0 bis 2.

Wenn t=1,5 [mm] \in [/mm] [0|2] ist, ist [mm] 2t+2isin(\pi [/mm] t)= [mm] 3+2isin(1,5\pi)=3+2i*(-1)=3-2i. [/mm] Dort ist der x-Wert (nicht der t-Wert) 3 und der y-Wert -2.

Bezug
                                        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Falsche Umlaufzahl!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Di 12.07.2022
Autor: HJKweseleit


> Hi,
>  
> danke für die Hilfe!
>  
> ich habe die umlaufzahl mal eingetragen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> kann ich das so machen?

Man kann die Integration nun in zwei Teile Zerlegen:

1. Teil: Obere Sinuskurve bis x=2, dann auf der x-Achse zurück zum Ursprung.
   Die Singularität wird dabei rechtsdrehend umkreist und hat damit die Umlaufzahl -1 und nicht 1.

2. Teil: Untere Sinuskurve von x=2 bis x=4, dann auf der x-Achse zurück zu x=2.
   Die Singularität wird dabei linkssdrehend umkreist und hat damit die Umlaufzahl 1.

Bezug
                                                
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:38 Mi 13.07.2022
Autor: HJKweseleit

Zur Kontrolle:

Für die "linke" Singularität erhalte ich das Residuum [mm] e^{-\pi}(1+i)/4, [/mm] für die "rechte"  [mm] -e^{\pi}(1+i)/4. [/mm]
Die Summe unter Berücksichtigung des Umlaufssinns gibt [mm] -e^{\pi}(1+i)/4 [/mm] - [mm] e^{-\pi}(1+i)/4 [/mm] = [mm] -(e^{\pi}+e^{-\pi})(1+i)/4, [/mm] das Integral dann

[mm] \pi(e^{\pi}+e^{-\pi})(1-i)/2=\pi cosh(\pi)(1-i). [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Mi 13.07.2022
Autor: nkln

wie kann ich das Integral dann berechnen? mit Residuensätze? ich bekomme keinen Ansatz hin..:/

Bezug
                                                                
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Zyklus/ Umlaufzahl zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mi 13.07.2022
Autor: HJKweseleit


> wie kann ich das Integral dann berechnen? mit
> Residuensätze? ich bekomme keinen Ansatz hin..:/

Genau!

Der Integrationsweg besteht doch aus den beiden von mir erläuterten Umkreisungen:

Links im Bild rechtsdrehend das Umkreisen der einfachen Singularität 1+i, rechts im Bild linksdrehend der einfachen Singularität 3-i.

Also hat das Integral für den linken Kreis den Wert

[mm] -2\pi [/mm] i*Res(i+1) und rechts [mm] 2\pi [/mm] i*Res(3-i).

Bestimme beide Residuen und addiere die Werte.

Hinweis:

Ist f(z)=g(z)/h(z) und hat h bei a eine einfache Nullstelle (die g nicht hat), so ist

Res(a)=f(a)/g'(a).

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