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ABCFormel
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ABCFormel

Satz ABCFormel (auch Mitternachtsformel)

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form:

$ 0=ax^2+bx+c $ mit $ a \not= 0 $ (Falls a = 0 , handelt es sich um keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung)

lauten:

Falls $ b^2-4ac \ge 0 $ :

$ x_1=\bruch{-b + \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $

und

$ x_2=\bruch{-b - \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


Beweis.

Da nach Voraussetzung $ a \not=0 $, gilt:

$ ax^2+bx+c=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $

Wir setzen wegen der bereits bewiesenen p/q-Formel
$ p:=\frac{b}{a} $ und $ q:=\frac{c}{a} $.
Denn damit gilt:

$ x^2+px+q=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $.

Nach der (bereits bewiesenen) p/q-Formel erhalten wir also für $ \left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a} >= 0 $ die Lösungen:
$ x_{1,2}=-\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\pm\wurzel{\left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{\wurzel{4a^2}}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $ hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


1. Fall:
Ist nun $ a>0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a>0 $.


2. Fall:
Ist nun $ a<0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ auch die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a<0 $.


Fazit:
Für alle $ a\not=0 $ (und sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) ist also $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $
(in Kurzschreibweise:$ \IL=\left\{\frac{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $) die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ und die Behauptung ist gezeigt!      $ \Box $


Bemerkungen.

Man versteht hier darunter, dass die Ausdrücke (wohl-)definiert sind, folgendes:
1.) $ a\not=0 $, weil man sonst durch Null teilen würde.
2.) $ b^2-4ac \ge0 $, denn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf nicht $ <0 $ sein!

Die Formel ist so wichtig, dass man sie selbst dann noch auswendig hersagen können sollte, wenn man mitternachts aus dem Tiefschlaf geweckt würde!

Erstellt: So 03.10.2004 von Andi
Letzte Änderung: Fr 10.09.2010 um 12:44 von rebzdu
Weitere Autoren: informix, Marcel
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