matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteDarstellungsmatrix
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Darstellungsmatrix
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Darstellungsmatrix

Die Darstellungsmatrix


Beschreibung

Die Darstellungsmatrix $ M_{B}^{A}(f) $ einer linearen Abbildung $ f:V\to W $ von zwei Vektorräumen V und W mit Basen A von V und B von W ist diejenige Matrix, die einen Vektor aus V, dessen Darstellung v bzgl Basis A gegeben ist, mit f abbildet aber die Darstellung f(v) des Bildvektors bzgl Basis B umwandelt.

Der wesentliche Zusammenhang zwischen der Abbildung und der Darstellungsmatrix ist : Für jeden Vektor v aus V soll gelten : $ f(v)=M_{B}^{A}(f) \cdot{} v $

D.H es soll Folgendes gelten:
seien $ A=\{a_1 , ... , a_n \} $ und $ B=\{b_1 , ... , b_m \} $ die Basen und seien $ v=x_1\cdot{}a_1 + ... +x_n\cdot{}a_n $ und $ f(v)=y_1\cdot{}b_1 + ... +y_m\cdot{}b_m $ die Basisdarstellungen von v bzgl A bzw. f(v) bzgl B.
Dann : $ f(v)=M_{B}^{A}(f)\cdot{}\vektor{x_1\\.\\.\\x_n}=\vektor{y_1\\.\\.\\y_m} $


Erläuterung

Jede lineare Abbildung lässt sich durch eine Darstellungsmatrix beschreiben, diese ist eindeutig für fest gewählte Basen.
(Es gilt sogar die Umkehrung : Jede Matrix stellt eine lineare Abbildung dar !)

Es kann von Vorteil sein eine Abbildung einfach durch eine Matrix darzustellen und dann alle Eigenschaften und Berechnungen mit der Matrix zu machen, denn hierfür stehen ein weites Gebiet von Methoden zur Verfügung.
( Eigenwert & Co)


Bestimmung der Darstellungsmatrix

Für den Umgang mit Darstellungsmatrizen ist folgender Satz sehr wichtig:

Die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Darstellungsmatrix.

Begründung : Einen Vektor v kann man bzgl der Basis A wie oben eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren.
Die Linearität der Abbildung bewirkt, dass man f(v) direkt aus den Bildern der Basisvektoren ablesen kann:
$ f(v)=f(x_1\cdot{}a_1 + ... +x_n\cdot{}a_n)=x_1\cdot{}f(a_1) + ... +x_n\cdot{}f(a_n) $

Wenn die Bilder der Basisvektoren $ f(a_1) $ bis $ f(a_n) $ als Elemente in W selbst wieder in Basisdarstellung B gegeben sind, liefert die Definition der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gerade obiges Ergebnis wenn die Bilder $ f(a_1) $ bis $ f(a_n) $ als Spalten in der Matrix $ M_{B}^{A}(f) $ stehen.


Besonderheiten

1) Streng genommen müssten auch bei jeder Beschreibung von Abbildungen dabei stehen, welche Basen man dabei betrachtet, wenn dies nicht der Fall ist, kann man normaler Weise davon ausgehen, dass man die kanonische Basen meint (in beiden Vektorräumen).

2) Die oben genannten Vektorräume müssen natürlich nicht verschieden sein , also bei V=W , kann man Endomorphismen (Abbildungen in sich selbst) betrachten, wobei auch A=B sein kann, dann schreibt man auch oft die verkürzende Schreibweise : $ M_{A}^{A}(f)=M_{A}(f) $
(und A kann man auch noch weglassen, wenn es klar (oder unwichtig) ist, um welche Basis es sich handelt...)

3) Die Darstellungsmatrix der Identität $ Id_V $ ist bei einer Basis A von V gleich der Einheitsmatrix $ E_n $ wenn V n-dimensional ist.
Bei verschiedenen Basen ist sie gerade die Transformationsmatrix eines Basiswechsels.

4) Wenn man die Darstellungsmatrix $ M_{B}^{A}(f) $ kennt bzw. leicht ermitteln kann (bei Standardbasen beispielsweise) , dann kann man die Darstellungsmatrix $ M_{D}^{C}(f) $ bzgl zweier anderer Basen mit Hilfe der Transformationsformel berechnen.


Beispiel

gegeben sei die Abbildung $ f:\IR^3 \to \IR^3 $ durch:
$ f\left( \vektor{x\\y\\z} \right)=\vektor{4(x-y)+7z\\3(x-y)+5z\\2x-y+z} $

und man möchte die Darstellungsmatrix bzgl Standardbasis bestimmen.

Also nach obigen wichtigen Satz muss man die Bilder der Basisvektoren berechnen:
für den ersten Basisvektor $ e_1=\vektor{1\\0\\0} $ gilt also für x=1 und y=z=0 eingesetzt in obige gegebene Gleichung:
$ f\left( \vektor{1\\0\\0} \right)=\vektor{4\cdot{}(1-0)+7\cdot{}0\\3\cdot{}(1-0)+5\cdot{}0\\2\cdot{}1-0+0}=\vektor{4\\3\\2} $
Dies ist dann die erste Spalte. Wenn man dies auch mit den beiden anderen Basisvektoren $ e_2=\vektor{0\\1\\0} $ und $ e_3=\vektor{0\\0\\1} $ macht, erhält man : $ \pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1} $ als Darstellungsmatrix bzgl Standardbasis.

Wer dieses Beispiel auch noch mit einer anderen Basis sehen möchte, kann sich das Beispiel bei der Transformationsformel ansehen.
Oder alternativ in [link]DIESEN Artikel (Matheraum)


Matheraum Links

[link]ein weiteres Beispiel (Matheraum)

[link]guter Artikel (MathePlanet)

[link]entspr. Artikel auf Wikipedia

Erstellt: Di 28.03.2006 von DaMenge
Letzte Änderung: Mo 26.10.2009 um 09:40 von DaMenge
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]