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Transformationsformel
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Transformationsformel

Die Transformationsformel


Beschreibung

Gegeben sei die Darstellungsmatrix $ M_{B}^{A}(f) $ einer linearen Abbildung f von den Vektorräumen V nach W
und gesucht ist die Darstellungsmatrix $ M_{D}^{C}(f) $.

Wobei A und C Basen von V und B und D Basen von W sind.


Transformationsformel

Es gilt $ M_{D}^{C}(f)=T_{D}^{B} \cdot{} M_{B}^{A}(f) \cdot{} T_{A}^{C} $ , wobei $ T_{D}^{B} $ und $ T_{A}^{C} $ Transformationsmatrizen sind.


Erläuterung

Wenn man ganz rechts einen Vektor v in Basisdarstellung C "hineinsteckt", wird dieser durch $ T_{A}^{C} $ einfach nur in Basisdarstellung A gewandelt (es bleibt derselbe Vektor nur zu einer anderen Basis).

Sei $ T_{A}^{C}\cdot{}v=v' $

v' ist in Basisdarstellung A und kommt nun an die Darstellungsmatrix $ M_{B}^{A}(f) $ , d.h. aus v' wird $ v'' $ wobei $ v''=f(v') $ und zusätzlich in Basisdarstellung B ist.

Letztlich wird $ v'' $ durch $ T_{D}^{B} $ noch in Basisdarstellung D gewandelt.

D.H insgesamt haben wir eine Abbildung, die einen Vektor bzgl Basis C durch f abbildet und bzgl Basis D ausgibt,
also gerade $ M_{D}^{C}(f) $

Es gilt also nur $ T_{D}^{B} $ und $ T_{A}^{C} $ zu bestimmen und das Produkt dann auszurechnen.


einfachere Spezialfälle

Es gibt Situationen, wo man obige Notation vereinfachen kann:

1)
Die darstellende Matrix von f ist gegeben bzgl einer Basis A, also $ M_{A}^{A}(f)=M_A(f) $.
Und gesucht ist die darstellende Matrix bzgl einer Basis B, also $ M_{B}^{B}(f)=M_B(f) $
Dann muss man nur $ T_{A}^{B}=:T $ und $ T_{B}^{A}=(T)^{-1} $ bestimmen und das Produkt wie oben entsprechend ausrechnen.
(denn $ T_{B}^{A} $ soll ja als Abbildung gerade das inverse von $ T_{A}^{B} $ machen - siehe auch Beispiel unten)
  
2)
Wie eben ist $ M_A(f) $ gegeben und gesucht ist $ M_A^B(f) $, d.h man muss nur $ T_{A}^{B}=:T $ bestimmen und $ M_A^B(f)\cdot{}T $ ausrechnen, denn die Rücktransformation in Basisgestalt B entfällt.

3) man soll eine Koordinatentransformation berechnen.


einfaches Beispiel

gegeben sei die lin. Abbildung f durch : $ f\left(\vektor{x\\y\\z}\right) = \vektor{4(x-y)+7z\\3(x-y)+5z\\2x-y+z} $
dann ist $ M_K(f)=\pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1} $ die darstellende Matrix bzgl. der kanonischen Basis $ K=\{ \vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1} \} $
(die Bilder der Basisvektoren $ e_i $ von K sind die Spalten der darstellenden Matrix $ M_K(f) $)

gesucht ist nun die darstellende Matrix zur Basis $ B=\{  e_{1} , e_{1}+e_{2} , e_{1}+e_{2}+e_{3} \} $
(Basisvektoren aus B sind gegeben als Linearkombinationen der Basisvektoren aus K)

also : ausrechnen von $ T_{K}^{B}=:T $ :
wenn man den i-ten Basisvektor von B in Basisgestalt B in T reinsteckt, soll der selbe Vektor in Basisgestalt K rauskommen, also wenn man zum Beispiel $ \vektor{0\\1\\0} $ reinsteckt (dies ist der zweite Basisvektor bzgl Darstellung B)
dann soll $ \vektor{1\\1\\0} $ rauskommen, denn dies entspricht ja gerade $ e_{1}+e_{2} $.
Also ist $ T=\pmat{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1} $ und demnach $ T^{-1}=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1} $
(Berechnet schnell nach Gauß-Jordan )

Deshalb ist nun $ M_B(f)=T^{-1}\cdot{}M_K(f)\cdot{}T=\pmat{1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1}\cdot{}\pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1}\cdot{}\pmat{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1}=\pmat{1&0&2\\1&-1&3\\2&1&2} $



Matheraum Links

[link]ein Beispiel
[link]noch ein Beispiel mit Erklärung zum ersten Spezialfall

[link]guter Artikel (MathePlanet)

Erstellt: Di 12.07.2005 von DaMenge
Letzte Änderung: Mi 20.12.2006 um 15:36 von DaMenge
Weitere Autoren: informix
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