TransformationsformelDie Transformationsformel
Beschreibung
Gegeben sei die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f von den Vektorräumen V nach W
und gesucht ist die Darstellungsmatrix .
Wobei A und C Basen von V und B und D Basen von W sind.
Transformationsformel
Es gilt , wobei und Transformationsmatrizen sind.
Erläuterung
Wenn man ganz rechts einen Vektor v in Basisdarstellung C "hineinsteckt", wird dieser durch einfach nur in Basisdarstellung A gewandelt (es bleibt derselbe Vektor nur zu einer anderen Basis).
Sei
v' ist in Basisdarstellung A und kommt nun an die Darstellungsmatrix , d.h. aus v' wird wobei und zusätzlich in Basisdarstellung B ist.
Letztlich wird durch noch in Basisdarstellung D gewandelt.
D.H insgesamt haben wir eine Abbildung, die einen Vektor bzgl Basis C durch f abbildet und bzgl Basis D ausgibt,
also gerade
Es gilt also nur und zu bestimmen und das Produkt dann auszurechnen.
einfachere Spezialfälle
Es gibt Situationen, wo man obige Notation vereinfachen kann:
1)
Die darstellende Matrix von f ist gegeben bzgl einer Basis A, also .
Und gesucht ist die darstellende Matrix bzgl einer Basis B, also
Dann muss man nur und bestimmen und das Produkt wie oben entsprechend ausrechnen.
(denn soll ja als Abbildung gerade das inverse von machen - siehe auch Beispiel unten)
2)
Wie eben ist gegeben und gesucht ist , d.h man muss nur bestimmen und ausrechnen, denn die Rücktransformation in Basisgestalt B entfällt.
3) man soll eine Koordinatentransformation berechnen.
einfaches Beispiel
gegeben sei die lin. Abbildung f durch :
dann ist die darstellende Matrix bzgl. der kanonischen Basis
(die Bilder der Basisvektoren von K sind die Spalten der darstellenden Matrix )
gesucht ist nun die darstellende Matrix zur Basis
(Basisvektoren aus B sind gegeben als Linearkombinationen der Basisvektoren aus K)
also : ausrechnen von :
wenn man den i-ten Basisvektor von B in Basisgestalt B in T reinsteckt, soll der selbe Vektor in Basisgestalt K rauskommen, also wenn man zum Beispiel reinsteckt (dies ist der zweite Basisvektor bzgl Darstellung B)
dann soll rauskommen, denn dies entspricht ja gerade .
Also ist und demnach
(Berechnet schnell nach Gauß-Jordan )
Deshalb ist nun
Matheraum Links
ein Beispiel
noch ein Beispiel mit Erklärung zum ersten Spezialfall
guter Artikel (MathePlanet)
|