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Steckbriefaufgaben

Aufstellen einer Funktionsgleichung aus Eigenschaften


  • Allgemein:

(1) Der Punkt $ N (x_N|0) $ ist Schnittpunkt mit der x-Achse/ $ x_{n} $ ist Nullstelle $ \Rightarrow  f(x_N)=0 $

(2) Der Punkt $ P(x_p/y_p) $ liegt auf dem Graph der Funktion/ist Punkt der Funktion  $ \Rightarrow f(x_p)=y_p $.

(3) Der Punkt $ E(x_e/y_e) $ ist Extrempunkt $ \Rightarrow  f'(x_e)=0 $ und $ f(x_e)=y_e $.
 ($ x_{e} $ ist Extremstelle $ \Rightarrow  f'(x_e)=0 $)

(4) Der Punkt $ W(x_w/y_w) $ ist Wendepunkt $ \Rightarrow f''(x_w)=0 $ und $ f(x_w)=y_w $.
 ($ x_{w} $ ist Wendestelle $ \Rightarrow  f''(x_w)=0 $)

(5) Der Punkt $ S(x_s/y_s) $ ist Sattelpunkt/Terassenpunkt $ \Rightarrow f''(x_w)=0 $ und $ f(x_w)=y_w $ und $ f'(x_w)=0 $.

(6) Der Punkt $ T(x_t/y_t) $ hat eine Tangente mit Steigung $ m_t \Rightarrow f'(x_t)=m_t $ und $ f(x_t)=y_t $.

(7) Der Punkt $ N(x_n/y_n) $ hat eine Normale mit der Steigung $ m_n \Rightarrow f'(x_n)\cdot{}m_n=-1 $ und $ f(x_n)=y_n $.

(8) Die Kurven $ f(x) $ und $ g(x) $ berühren sich in $ B(x_b/y_b) \Rightarrow f(x_b)=g(x_b) \wedge f'(x_b)=g'(x_b) $.

(9) Im Punkt $ W(x_0/y_0) $ findet man einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente:
$ \Rightarrow f(x_0)=y_0 $ und $ f'(x_0)=0 $ und $ f''(x_0)=0 $.

(10) Der Graph der Funktion ist symmetrisch:

  • punktsymmetrisch zu $ (0|0) $ $ \gdw $ $ f(-x) = - f(x) $
  • achsensymmetrisch zur y-Achse $ \gdw $ $ f(-x) = f(x) $

Beispiel:


(1) $ E (1|3) $ ist Extrempunkt:

  1. $ f(1)= 3 = a\cdot{}1^3 + b\cdot{}1^2 + c\cdot{}1 + d= a + b + c + d $
  2. $ f'(1) = 0 = 3a + 2b + c $

(2) $ W (-1|19) $ ist Wendepunkt:

  1. $ f(-1) = 19 = -a + b - c + d $
  2. $ f''(-1) = 0 = - 6a + 2b $

Damit ergibt sich ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, das nach $ a, b, c $ und $ d $ aufzulösen ist:

$ a + b + c + d = 3 $


$ 3a + 2b + c = 0 $


$ -6a + 2b = 0 $


$ -a + b - c + d = 19 $


Ergebnis: $ a = 1 $ , $ b = 3 $ , $ c = -9 $ und $ d = 8 $
Also lautet die Funktionsgleichung:

$ f(x) = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 8 $

Bei dieser Art von Aufgaben kann (und sollte!) man stets eine Probe mit den Originalbeschreibungen im Text der Aufgabe machen, um Rechenfehler bei der Aufstellung der Gleichungen überprüfen zu können!




weitere Aufgaben zum Üben findet man hier
siehe auch Ortskurve, Funktionen aus Eigenschaften

Erstellt: Mo 10.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 23.09.2010 um 10:21 von M.Rex
Weitere Autoren: Marc, Marcel
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