matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Steckbriefaufgaben
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Steckbriefaufgaben
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Steckbriefaufgaben

Aufstellen einer Funktionsgleichung aus Eigenschaften


  • Allgemein:

(1) Der Punkt $ N (x_N|0) $ ist Schnittpunkt mit der x-Achse/ $ x_{n} $ ist Nullstelle $ \Rightarrow f(x_N)=0 $

(2) Der Punkt $ P(x_p/y_p) $ liegt auf dem Graph der Funktion/ist Punkt der Funktion  $ \Rightarrow f(x_p)=y_p $.

(3) Der Punkt $ E(x_e/y_e) $ ist Extrempunkt $ \Rightarrow f'(x_e)=0 $ und $ f(x_e)=y_e $.
 ($ x_{e} $ ist Extremstelle $ \Rightarrow f'(x_e)=0 $)

(4) Der Punkt $ W(x_w/y_w) $ ist Wendepunkt $ \Rightarrow f''(x_w)=0 $ und $ f(x_w)=y_w $.
 ($ x_{w} $ ist Wendestelle $ \Rightarrow f''(x_w)=0 $)

(5) Der Punkt $ S(x_s/y_s) $ ist Sattelpunkt/Terassenpunkt $ \Rightarrow f''(x_w)=0 $ und $ f(x_w)=y_w $ und $ f'(x_w)=0 $.

(6) Der Punkt $ T(x_t/y_t) $ hat eine Tangente mit Steigung $ m_t \Rightarrow f'(x_t)=m_t $ und $ f(x_t)=y_t $.

(7) Der Punkt $ N(x_n/y_n) $ hat eine Normale mit der Steigung $ m_n \Rightarrow f'(x_n)\cdot{}m_n=-1 $ und $ f(x_n)=y_n $.

(8) Die Kurven $ f(x) $ und $ g(x) $ berühren sich in $ B(x_b/y_b) \Rightarrow f(x_b)=g(x_b) \wedge f'(x_b)=g'(x_b) $.

(9) Im Punkt $ W(x_0/y_0) $ findet man einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente:
$ \Rightarrow f(x_0)=y_0 $ und $ f'(x_0)=0 $ und $ f''(x_0)=0 $.

(10) Der Graph der Funktion ist symmetrisch:

  • punktsymmetrisch zu $ (0|0) $ $ \gdw $ $ f(-x) = - f(x) $
  • achsensymmetrisch zur y-Achse $ \gdw $ $ f(-x) = f(x) $

Beispiel:


(1) $ E (1|3) $ ist Extrempunkt:

  1. $ f(1)= 3 = a\cdot{}1^3 + b\cdot{}1^2 + c\cdot{}1 + d= a + b + c + d $
  2. $ f'(1) = 0 = 3a + 2b + c $

(2) $ W (-1|19) $ ist Wendepunkt:

  1. $ f(-1) = 19 = -a + b - c + d $
  2. $ f''(-1) = 0 = - 6a + 2b $

Damit ergibt sich ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, das nach $ a, b, c $ und $ d $ aufzulösen ist:

$ a + b + c + d = 3 $


$ 3a + 2b + c = 0 $


$ -6a + 2b = 0 $


$ -a + b - c + d = 19 $


Ergebnis: $ a = 1 $ , $ b = 3 $ , $ c = -9 $ und $ d = 8 $
Also lautet die Funktionsgleichung:

$ f(x) = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 8 $

Bei dieser Art von Aufgaben kann (und sollte!) man stets eine Probe mit den Originalbeschreibungen im Text der Aufgabe machen, um Rechenfehler bei der Aufstellung der Gleichungen überprüfen zu können!



weitere Aufgaben zum Üben findet man hier
siehe auch Ortskurve, Funktionen aus Eigenschaften

Erstellt: Mo 10.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 23.09.2010 um 10:21 von M.Rex
Weitere Autoren: Marc, Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]