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Funktionsgrenzwertbestimmung
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Funktionsgrenzwertbestimmung

Wie bestimme ich den Grenzwert einer Funktion für $ x\to\pm\infty $?

Das Ziel ist immer das Gleiche:
Schreibe den Funktionsterm derart, dass du es "sehen" kannst, was für $ x \rightarrow \pm \infty $ passiert.

Der Weg dahin hängt aber von der Art des Funktionsterms ab.

Beispiel: ganzrationale Funktionen (was ich hier jetzt aufschreibe, überlegt man sich nur einmal, danach "weiß" man es)


$ f(x) = x^3-6x^2+9x $

Das kannst du etwa so schreiben:

$ x^3-6x^2+9x=x^3\cdot{}\left(1-\bruch{6}{x}+\bruch{9}{x^2} \right) $

Da die Klammer gegen 1 konvergiert (setze probeweise "große Zahlen" wie 10, 100,.. ein), bestimmt also einzig und allein der Summand mit dem höchsten Exponenten (im Originalterm) über das Verhalten gegen $ \pm \infty. $

So kommst du ganz leicht zu einem Kriterium für ganzrationale Funktionen:

  1. Unterscheidung zwischen geradem und ungeradem Grad (bei $ x^4 $ geht es beide Male in die gleiche Richtung, bei $ x^3 $ einmal so und einmal so)
  2. Unterscheidung zwischen dem Vorzeichen vor diesem Summand $ (-3x^4 $ führt ja dazu, dass das in beide Richtungen gegen $ -\infty $ abhaut)

Bei gebrochen-rationalen Funktionen macht man das ähnlich (vielleicht kommt dir das von den Folgen bekannt vor):
Beispiel:

$ f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{x^9+1} $

Du klammerst die höchste überhaupt auftretende Potenz von x im Nenner und im Zähler aus und kürzt:

$ f(x)=\bruch{x^9\cdot{}\left( \bruch{-4}{x^2}+\bruch{8}{x^8}-\bruch{14}{x^9} \right)}{x^9(1+\bruch{1}{x^9})} $

Dann siehst du, was passiert: Zähler geht gegen 0, Nenner gegen 1 und fertig.
Daraus kannst du dir dann auch ein einfaches Kriterium für gebrochen-rationale Funktionen machen, wenn du es einmal durchgerechnet hast:

  1. Ist der Exponent oben größer, haut es gegen $ \pm \infty $ ab (hängt dann wie bei den ganzrationalen vom Vorzeichen ab).
  2. Ist der Exponent unten größer (wie im Beispiel), geht es gegen 0.
  3. Ist der max. Exponent oben und unten gleich, geht es gegen eine feste Zahl, nämlich gerade den Quotienten der Koeffizienten davon.

Steht etwa sowas da:

$ f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{2x^7+1} $

dann geht das

$ \bruch{-4}{2}=-2. $

Tauchen Exponentialfunktionen auf, gibt es kein so ganz einheitliches Vorgehen mehr, da braucht man in der Regel nur folgendes Wissen:
Beispiel: sei $ f(x)=\bruch{e^x}{x} $:

  1. Die Exponentialfunktion wächst bzw. fällt für $ x \to\pm \infty $ stärker als jede Potenz von x, ist also Grenzwert bestimmend.

  2. Die Exponentialfunktion geht für $ x\to-\infty $ schneller gegen 0 als $ \bruch{1}{x} $ gegen $ -\infty $ geht.

    $ \lim_{x\to-\infty}\bruch{e^x}{x}\rightarrow -0 \text{ und } \lim_{x\to+\infty}\bruch{e^x}{x}\rightarrow +\infty $

Ähnliches gilt natürlich für Logarithmen.
Wurzeln sind ja im wesentlichen auch nur Potenzen von x $ (\wurzel{x} =x^{\bruch{1}{2}}) $ kannst du also auch ähnlich argumentieren.
Sinus und Cosinus sind immer beschränkt, das Verhalten des Tangens ist auch klar.

Bei Kombinationen von denen hilft es dir eigentlich am meisten, immer nach dem Verhalten der Einzelnen zu schauen und dann Grundwissen zu benutzen.

Beispiel:

$ f(x)=\bruch{sin(x)}{\wurzel{x^2}} $


$ \sin(x) $ bleibt immer zwischen -1 und 1, spielt also für die Grenzwerte keine Rolle. Entscheidend ist also das Verhalten von $ \wurzel{x^2} $ und das ist dir bekannt.

Letzte Änderung: Mi 24.06.2009 um 11:03 von informix
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