matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteGrenzwertbestimmung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Grenzwertbestimmung
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Grenzwertbestimmung

Wie berechne ich den Grenzwert einer Folge?

Nun ja, das kommt darauf an, in welcher Form Du die Folge gegeben hast.
Manchmal ist es gar nicht so einfach, den Grenztwert einer Folge zu bestimmen, aber mit ein paar Rechenregeln und Tricks kommt man doch schon recht weit, deshalb hier vielleicht mal ein paar Beispiele:

$ a_n=1 - \bruch{1} {n} $
Für große n wird 1/n seeeehr sehr klein, deswegen geht die Folge gegen 1.

$ b_n=\bruch{2n^3-4n^2+1} {3n^3-7n+3} $
hier hilft uns vielleicht ein kleiner Rechentrick, auch wenns zunächst komplizierter aussieht: wir klammern n³ aus:
$ =\bruch{n^3\cdot{}(2-\bruch{4} {n}+\bruch{1} {n^3})} {n^3\cdot{}(3-\bruch{7} {n^2}+\bruch{3} {n^3})}=\bruch{2-\bruch{4} {n}+\bruch{1} {n^3}} {3-\bruch{7} {n^2}+\bruch{3} {n^3}} $.
Wie man sieht (oder sich mit einem Taschenrechner leicht verdeutlichen kann), gehen alle die "Schrotterme", wo im Nenner n^ hoch irgendwas steht, gegen Null, so daß am Ende nur noch 2/3 stehenbleibt, also ist der Grenzwert hier 2/3.

Nun vielleicht ein etwas komplexeres Beispiel:

$ c_n= \bruch{1-q^{n+1}} {1-q} $ für 0<q<1.
Dazu sehen wir uns erstmal an, was der Term $ q^n $ für große n macht. Allgemein ist, da q zwischen 0 und 1 liegt $ q^{n+1}<q^n $, also werden die Folgenglieder immer kleiner für wachsendes n und werden sogar beliebig viel kleiner.
Andererseits aber sind die Folgenglieder aber für jedes n auch größer als 0, so daß $ q^n $ gegen null geht für n gegen unendlich.
(die Argumentation war natürlich jetzt nicht mathematisch korrekt aufgeschrieben, aber ich wollte einfach anschaulich machen, worum es geht...)
Nun zu dem größeren Term.
Da ist jetzt klar, daß der, da $ q^n $ gegen 0 geht, gegen $ \bruch{1} {1-q} $ geht.

Was sind Infimum und Supremum?

Fangen wir erstmal damit an: dir dürfte bekannt sein, was eine obere bzw. untere Schranke ist. Zum Beispiel hat die Menge M={1,2,7,3,9} zum Beispiel die 10 als obere Schranke, da kein Element der Menge M größer ist als 10. Wie man sieht, ist die obere Schranke nicht eindeutig, denn auch 12348.5 wäre eine obere Schranke.
Das supremum ist nun definiert als kleinste obere Schranke. Wie man sich leicht überlegen kann, ist das supremum eindeutig bestimmt, im obigen Falle wäre z.B. sup M = 9.
Das supremum muß nicht unbedingt Element der Menge sein, nehmen wir z.B. N=[0,1), also das rechts offene Intervall von 0 bis 1.
Offensichtlich ist sup N =1, denn zu allem, was kleiner 1 ist, gibt es ja immer noch ein Element, das größer ist und trotzdem kleiner 1.
Dennoch ist $ 1 \not\in N $.
Analog dazu ist das infimum die größte untere Schranke.

Letzte Änderung: Mo 10.01.2005 um 20:26 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]