Konvergenz

Definition Grenzwert

Eine Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge ,
wenn nach Vorgabe irgendeiner positiven (kleinen) Zahl fast alle Folgenglieder die Ungleichung erfüllen.

"Fast alle" bedeutet dabei, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.

Analog dazu spricht man auch vom Grenzwert einer Funktion

,

dabei stellt man sich vor, dass man feststellen möchte, welchen (festen) Wert f an der Stelle annimmt, obwohl man nicht ausrechnen kann, weil vielleicht nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört.
(siehe auch Differenzenquotient, stetig )

Anders gesagt:
In jeder noch so kleinen Umgebung von g liegen "fast alle" Folgenglieder.

Man schreibt dann: .

Wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt, dann nennt man sie konvergent.

In mathematischen Symbolen:
Sei eine Zahlenfolge. Dann heißt konvergent, falls:

.

Wenn sie keinen Grenzwert besitzt, nennt man sie divergent.

(Bemerkung: Die Folge heißt also divergent (oder nicht konvergent),
falls:
.)

Bemerkungen.

1.) Folgen, die als Grenzwert 0 haben, nennt man Nullfolgen.

2.) Eine (reell- oder komplexwertige) Folge konvergiert genau dann, wenn es ein in so gibt, dass (oder ) eine Nullfolge ist.

Insbesondere gilt: Genau dann gilt wenn (bzw. ).

3.) Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Folge in X konvergent, falls:

.

Hierbei heißt der Grenzwert der Folge und ist eindeutig bestimmt, denn:

Seien Grenzwerte der Folge in X und es sei gegeben. Wir setzen .

Dann existiert ein , so dass gilt:
.

Weiter existiert ein , so dass gilt:

.

Also gilt für alle :

.
Da beliebig war, folgt:
und damit .            

(Ergänzung zu dem Beweis:

Wenn für gilt, dass für alle die Ungleichung erfüllt ist, dann folgt daraus, dass gilt.

Denn:

Es gelte und angenommen, es wäre . Dann folgt:

. Wir setzen und erhalten:

. Mit anderen Worten:

Wir haben ein gefunden, so dass gilt im Widerspruch zu .    )

siehe auch: Grenzwertsätze