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Laplace
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Laplace

Pierre Simon Marquis de Laplace war ein französicher Physiker, Mathematiker und Astronom, der bereits im 18.Jahrhundert eine detaillierte Darstellung, als Schwerpunkt seiner Forschungsarbeiten, der Entwicklung des Sonnensystems hervorbrachte (Kant-Laplace-Theorie). Daneben beschäftigte er sich unter anderem mit der Integraltheorie und verfasste Arbeiten zur Schwingungs- und Wärmelehre, sowie zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Nach ihm benannt ist ebenso die Laplace-Gleichung, eine partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung mit $ \Delta u=0 $





Was bedeutet "Laplace-Transformation"?


Unterwirft man die, mit einem Dämpfungsfaktor (zur Erfüllung der dirichletschen Bedingung) multiplizierte Hilfsfunktion $ f_H(t)=f(t)\cdot{}e^{-\delta t}\quad (\delta\ \in\ \IR^{+}) $ der Fouriertransformation, so ergibt sich als Sonderfall für $ t\ge 0 $


$ F_H(j\omega)=\integral_{0}^{\infty}{f(t)\cdot{}e^{-(\delta+j\omega)t}\ dt}=\integral_{0}^{\infty}{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt} $

die einseitige Laplace-Transformierte


$ \mathcal{L}\{f(t)\}=\integral_{0}^{\infty}{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}=F(s) $   mit   $ s=\delta+j\omega $

Symbolisch wird für diese Transformation $ F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} $ geschrieben. Der Operator $ \mathcal{L} $ heißt $ \text{Laplace-Transformatoroperator} $, F(s) wird die Bildfunktion und f(t) die Zeitfunktion genannt.

Das Laplace-Integral konvergiert, wenn $ f_H(t)=f(t)\cdot{}e^{-\delta t} $ absolut integrierbar ist. Das ist für hinreichend große $ \delta $ der Fall, wenn f(t) nicht stärker als exponentiell wächst.
Der kleinste Wert von $ \delta $ wird minimale Konvergenzabszisse genannt und mit $ \delta_0 $ bezeichnet. Das Laplace-Integral konvergiert für alle s, deren Realteil nicht kleiner als $ \delta_0 $ ist. Die Werte von s stellen dann in der komplexen Ebene die Konvergenzhalbebene dar, in welcher die Laplacetransformierte eine reguläre Funktion ist, die über die Konvergenzebene hinaus in den verbleibenden Teil der komplexen Ebene analytisch forgesetzt werden kann (bis auf wenige singuläre Punkte).

für die Umkehrfunktion benötigt man dann:


$ \omega=\bruch{s-\delta}{j} $

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\bruch{1}{2\pi j}\ \integral_{\delta-j\infty}^{\delta+j\infty}{F(s)\cdot{}e^{st}\ ds} $


Warum führt man die Laplace-Operation durch?


Unter Zuhilfenahme der Laplace-Transformation wird eine komplizierte Integral- und Differenzialform in eine algebraische Gleichung überführt, die man "leicht" berechnen kann.

Man möge sich jedoch bewusst sein, dass elementare Rechenkenntnisse natürlich Voraussetzung für diese Art der Vereinfachung sind.


Anhand ausgewählter Beispiele soll die Vereinfachung verdeutlicht werden:





Beispiel 1.

Es bestehe ein Netzwerk aus einer Serienschaltung folgender diskreter Bauteile:


ein Ohmscher Widerstand R und ein Kondenator C

nach dem 2. Kirchhoffschen Satz gilt:

u-Ri=0   mit   $ u=u_c(t) $ - Kondensatorspannung zur Zeit t; i=i(t) - Stromstärke in Abhängigkeit der Zeit


Es besteht weiterhin folgende lineare Beziehung zwischen der Ladung q=q(t) und der Spannung $ u_c(t) $:

q=Cu und somit gilt nach beiderseitigem differenzieren:  $ i=-\dot q-C\dot u $


einsetzen in obige Formel ergibt:


$ u+RC\dot u=0\ oder\ \dot u+\bruch{1}{RC}\cdot{}u=0 $



die Lösung der linearen Differenzialgleichung (im folgenden: "Dgl") ergibt sich mit: $ u(t)=C(t)\cdot{}e^{-\integral{u(t)\ dt}} $


mit der Anfangsbedingung $ u(0)=u_0 $  erhalten wir  $ u=u(t)=u_0\cdot{}e^{-T\cdot{}t} $   für   $ T=\bruch{1}{RC} $



Diese Rechnung setzt die Kenntnisse der Integral- und Differenzialrechnung voraus.



nun dasselbe Beispiel mit der Laplace-Transformation:


Unter Anwedung der gliedweisen Transformation auf die Differenzialgleichung wird:


$ \dot u+T\cdot{}u=0 $ zu $ s\cdot{}U(s)-u_0+T\cdot{}U(s)=0 $


aufglöst nach U(s):


$ U(s)=\bruch{u_0}{s+T} $


Aus der Korrespondenztabelle lässt sich sofort $ u=u(t)=u_0\cdot{}e^{-T\cdot{}t} $ ablesen.





Beispiel 2 (aus der Regelungstechnik)


Das Verhalten eines $ DT_1 $-Regelkreisgliedes lässt sich durch

$ T\cdot{}\dot v+v=K\cdot{}\dot u\quad (T,K=const.;\ u=u(t)\ Eingangssignal;\ v=v(t)\ Ausgangssignal) $

beschreiben.



Es sei $ u=X\cdot{}sin(\omega t) $ das Eingangssignal mit dem Anfangswert v(0)=0


mit $ \dot u=X\omega\ cos(\omega t) $ lautet die Dgl:


$ T\cdot{}\dot v+v=KX\omega\cdot{}cos(\mega t)\ bzw.\ \dot v+\alpha v=\beta\cdot{}cos(\omega t)\quad \right[\alpha=\bruch{1}{T};\ und\ \beta=\bruch{KX\omega}{T} $


die Transformation bringt:


$ s\cdot{}V(s)+\alpha\cdot{}V(s)=\beta\cdot{}\mathcal{L}\{cos(\omega t)\}=\beta\cdot{}\bruch{s}{s^2+\omega^2} $


somit folgt für V(s):


$ V(s)=\beta\cdot{}\bruch{s}{(s^2+\omega^2)(s+\alpha)} $


Für die Rücktransformation (z.B. mittels des Faltungssatzes) bekommen wir als Orginalfunktion:


$ v(t)=\bruch{KX\omega}{1+(\omega t)^2}\cdot{}\left[cos(\omega t)+\omega T\cdot{}sin(\omega t)-e^{-\bruch{t}{T}}\right] $





Beispiel 3: Lösung einer DGL


Exemplarische Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung der 2. Ordnung


$ y''+2y'+y=9\cdot{}e^{2t} $ mit folgenden Anfangswerten y(0)=0 und $ y'(0)=1 $



Die Transformation unter Anwendung des Ableitungsatzes in den Bildraum ergibt sich zu:


$ [s^2\cdot{}Y(s)-s\cdot{}y(0)-y'(0)]+2\cdot{}s\cdot{}Y(s)+Y(s)=\bruch{9}{s-2} $



Nach dem Einsetzen der Anfangswerte wird die Gleichung nach Y(s) aufgelöst


$ (s^2+2s+1)Y(s)-1=\bruch{9}{s-2} $


$ (s^2+2s+1)Y(s)=\bruch{9}{s-2}+1 $


$ (s^2+2s+1)Y(s)=\bruch{9}{s-2}+\bruch{s-2}{s-2}=\bruch{7+s}{s-2} $


$ Y(s)=\bruch{s+7}{(s^2+2s+1)\cdot{}(s-2)}=\bruch{s+7}{(s+1)^2\cdot{}(s-2)} $



Partialbruchzerlegung


$ \bruch{s+7}{(s+1)^2\cdot{}(s-2)}=\bruch{A}{(s+1)}+\bruch{B}{(s+1)^2}+\bruch{C}{(s-2)} $


A=-1

B=-2

C=1



$ Y(s)=-\bruch{1}{(s+1)}-\bruch{2}{(s+1)^2}+\bruch{1}{(s-2)} $


$ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{-\bruch{1}{(s+1)}-\bruch{2}{(s+1)^2}+\bruch{1}{(s-2)}\right\} $


$ =-\mathcal{L}^{-1}\left\{-\bruch{1}{(s+1)}\right\}-2\cdot{}\mathcal{L}^{-1}\left\{\bruch{1}{(s+1)^2}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\bruch{1}{(s-2)}\right\} $


$ =-e^{-t}-2t\cdot{}e^{-t}+e^{2t} $







Anm: die Bespiele sind in stark verkürzter Form dargestellt und beinhalten keine Rechenwege; ausführliche Beispiele sind in den u.a. einzelnen Kapiteln zu finden.






Eigenschaften der Laplace-Transformation:

Laplace-Linearität (Satz über Linearkombinationen)
Laplace-Ähnlichkeitssatz
Laplace-Verschiebungssatz
Laplace-Dämpfungssatz
Laplace-Ableitungssatz
Laplace-Integralsatz
Laplace-Faltungssatz
Laplace-Grenzwertsatz
Laplace-Periodische Funktionen
Laplace-Rücktransformation
Laplace-Anwendungen
Laplace-Korrespondenztabelle



Elementare Funktionen

Laplacetransformation elementarer Funktionen




Erstellt: Mo 06.11.2006 von Herby
Letzte Änderung: Mi 29.09.2010 um 12:14 von Herby
Weitere Autoren: Loddar
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