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Materialien zum MatheRaum-Forum Geraden, Ebenen und Kugeln

Gegliederte Aufgabe, die auch als mündliche Prüfungsaufgabe dienen könnte:

1. Welches geometrische Gebilde wird durch die Funktion im (also zweidimensionalen) und im (also dreidimensionalen) dargestellt?
2. Gegeben ist die Funktion . Geben Sie die Hessesche Normalenform dieser Ebene an!
3. Geben Sie eine Parameterform dieser Ebene an!
4. Welchen Abstand hat diese Ebene von Frage 2 vom Ursprung des Koordinatensystems?
5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2 berührt.
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Welche der Ebenen schneiden Ebene 4? Bestimme ggfs. die Schnittgeraden mit :

Ebene 1:

Ebene 2:

Ebene 3:

Ebene 4:
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(a) Die Vektoren   und schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor   hat die Länge 15. Ferner gilt: , mit .
Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors  .

(b) Mit den Vektoren und mit wird vom Punkt ein Quadrat ABCD aufgespannt.
Bestimmen Sie k und die Koordinaten der Eckpunkte B, C und D des Quadrates.

(c) Der Ursprung O ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

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Es sei eine Kugel K, die alle Koordinatenebenen und die Ebene E: 2x + y - 2z = 5 berührt.
Begründen Sie, dass M(r|r|-r) als Kugelmittelpunkt gewählt werden kann.

(zur Diskussion dieser Aufgabe: schöne Erklärung)

Gegeben sind die Punkte P(3|-3|4) und Q(3|0|7) der Grade g, sowie der Mittelpunkt M(7|1|6) der Kugel K. P liegt auf der Kugeloberfläche.

a) Wie groß ist der Radius der Kugel K?

b) Wie lang ist jene Strecke der Gerade g, die innerhalb der Kugel K verläuft.

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Ein Flugzeug A fliegt von der Position (6|-2|2) nach (-2|2|2).
Ein Flugzeug B fliegt von Position (2|3|1) nach (-0,4|4|2,8).

a) Bestimmen Sie die kürzeste Entfernung der beiden Flugrouten.
b) Flugzeug A befindet sich zum selben Zeitpunkt an Position P1, wie Flugzeug B an Position Q1. Ihre Gleichschwindigkeit ist gleich.
Wie nah kommen sich beide Flugzeuge, wenn sie ihren Kurs jeweils bebehalten?
c) An welchem Ort tritt Flugzeug A in den Überwachungsraum einer im Punkt M(0|1|0) befindlichen Radarstation ein und wieder aus(Reichweite 3)?

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Welche Kugel mit dem Mittelpunkt auf der Geraden g: und dem Radius 9
berührt die Ebene E:
Bestimme den Berührungspunkt.

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Gegeben ist die Kugel K: (x+2)²+(y-5)²+(z-3)²=196, sowie die Ebene E: 2x+3y+6z=29

In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde bereits gezeigt, dass E die Kugel "halbiert" also durch den Mittelpunkt M (-2;5;3) verläuft.

Es gibt zwei Ebenen F und G, die parallel zu E verlaufen und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius schneiden. Bestimmen Sie ihre Gleichungen!

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