matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > ABCFormel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
ABCFormel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

ABCFormel

(Weitergeleitet von Mitternachtsformel)

Satz ABCFormel (auch Mitternachtsformel)

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form:

$ 0=ax^2+bx+c $ mit $ a \not= 0 $ (Falls a = 0 , handelt es sich um keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung)

lauten:

Falls $ b^2-4ac \ge 0 $ :

$ x_1=\bruch{-b + \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $

und

$ x_2=\bruch{-b - \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


Beweis.

Da nach Voraussetzung $ a \not=0 $, gilt:

$ ax^2+bx+c=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $

Wir setzen wegen der bereits bewiesenen p/q-Formel
$ p:=\frac{b}{a} $ und $ q:=\frac{c}{a} $.
Denn damit gilt:

$ x^2+px+q=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $.

Nach der (bereits bewiesenen) p/q-Formel erhalten wir also für $ \left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a} >= 0 $ die Lösungen:
$ x_{1,2}=-\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\pm\wurzel{\left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{\wurzel{4a^2}}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $ hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


1. Fall:
Ist nun $ a>0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a>0 $.


2. Fall:
Ist nun $ a<0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ auch die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a<0 $.


Fazit:
Für alle $ a\not=0 $ (und sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) ist also $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $
(in Kurzschreibweise:$ \IL=\left\{\frac{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $) die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ und die Behauptung ist gezeigt!      $ \Box $


Bemerkungen.

Man versteht hier darunter, dass die Ausdrücke (wohl-)definiert sind, folgendes:
1.) $ a\not=0 $, weil man sonst durch Null teilen würde.
2.) $ b^2-4ac \ge0 $, denn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf nicht $ <0 $ sein!

Die Formel ist so wichtig, dass man sie selbst dann noch auswendig hersagen können sollte, wenn man mitternachts aus dem Tiefschlaf geweckt würde!

Erstellt: So 03.10.2004 von Andi
Letzte Änderung: Fr 10.09.2010 um 12:44 von rebzdu
Weitere Autoren: informix, Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]