Umkehrfunktion

Definition Umkehrfunktion

Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn es zu jedem auch nur genau ein gibt, d.h. wenn die Zuordnungen und beide eindeutig sind.
Die Umkehrfunktion wird i.a. mit bezeichnet.

Wenn eine Funktion in einem Intervall streng monoton ist, dann ist jedem x aus dem Intervall genau ein y zugeordnet und umgekehrt. Somit ist die Funktion in diesem Monotoniebereich umkehrbar.

Bei der Bildung der Umkehrfunktion werden die Paare (x|y) vertauscht zu (y|x).
Man kann also die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion bestimmen, indem man in der Funktionsgleichung y = f(x) die Variablen x und y vertauscht und diese Gleichung (falls möglich) nach y auflöst.

Dadurch vertauschen sich auch Definitionsbereich und Wertebereich.

Daraus ergibt sich auch der Graph der Umkehrfunktion:
der Graph von f wird an der (Haupt-)Winkelhalbierenden gespiegelt.

Beispiel

siehe SchulMatheFAQ: Umkehrfunktionbestimmung

Seien und nichtleere Mengen.
Ist eine Funktion bijektiv, so existiert eine Funktion mit folgenden zwei Eigenschaften:
1.)
2.)

In diesem Fall heißt die Umkehrfunktion von .
Die Funktion (bzw. ) ist dabei die Identität auf (bzw. ).

Beispiele.

1.) Die Funktion     definiert durch ist bijektiv.
Wir berechnen die zugehörige Umkehrfunktion:
Dazu geben wir uns ein festes aus dem Zielbereich der Funktion vor und suchen ein aus dem Definitionsbereich mit . Wir haben also die Gleichung nach aufzulösen:

Die Umkehrfunktion zu obiger Funktion ist also gegeben durch die Vorschrift:
.
Da man Funktionen meist in Abhängigkeit vom Parameter schreibt, schreiben wir anstelle des Parameters den Parameter :

Somit gelangen wir zum Ergebnis:
Die Umkehrfunktion zu der (bijektiven) Funktion     definiert durch ist gegeben durch:
    und der Rechenvorschrift .

Bemerkungen.

1.) Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ordnet jedem Element aus dem Zielbereich genau ein Element des Definitionsbereiches zu.

2.) Ist bijektiv, so ist auch die Umkehrfunktion eine bijektive Funktion.

3.) Man beachte, dass man lediglich als Symbol für die Umkehrfunktion einer Funktion (im Falle der Existenz der Umkehrfunktion; also wenn bijektiv ist) benutzt. Die Gefahr der Verwechslung mit dem Ausdruck wird meist ausgeschlossen, weil sich meist aus dem Zusammenhang ergibt, ob als Symbol für die Umkehrfunktion (einer Funktion ) benutzt wird oder nicht.