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injektiv
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injektiv

Definitionen von injektiv, surjektiv, bijektiv

Seien $ D $ und $ Z $ nichtleere Mengen. Sei $ f:D \rightarrow Z $ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $ D $ und dem Zielbereich $ Z $.
Die Funktion $ f $ heißt:
- injektiv, falls für alle $ x_1,x_2 \in D $ mit $ x_1\not=x_2 $ stets $ f(x_1)\not=f(x_2) $ gilt
(äquivalent dazu: $ f $ heißt injektiv, falls für alle $ x_1,x_2 \in D $ aus $ f(x_1)=f(x_2) $ stets auch $ x_1=x_2 $ folgt .)

- surjektiv, falls für alle $ y \in Z $ (mindestens) ein $ x \in D $ mit $ f(x)=y $ existiert
(äquivalent dazu: $ f $ heißt surjektiv, falls $ f(D)=Z $ gilt. Hierbei ist $ f(D) $ der Bildbereich der Funktion $ f $.)

- bijektiv, falls $ f $ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Beispiele.

1.) Die Funktion $ f_1:[0;\infty[ $  $ \longrightarrow \IR $ definiert durch $ f_1(x):=x^2 $ ist injektiv, nicht aber surjektiv (also insbesondere nicht bijektiv).

2.) Die Funktion $ f_2:\IR \rightarrow \IR $ definiert durch $ f_2(x):=x^2 $ ist weder injektiv noch surjektiv (also insbesondere nicht bijektiv).

3.) Die Funktion $ f_3:]-\infty;0[ $  $ \longrightarrow $  $ ]0;\infty[ $ definiert durch $ f_3(x):=x^2 $ ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

4.) Die Funktion $ f_4:]0;\infty[ $   $ \longrightarrow \IR $ definiert durch $ f_4(x):=e^x $ ist injektiv, jedoch nicht surjektiv (also insbesondere nicht bijektiv).

5.) Die Funktion $ f_5:\IQ \rightarrow \IQ $ definiert durch $ f_5(x):=2x+3 $ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

6.) Die Funktion $ f_6:\IQ \rightarrow \IR $ definiert durch $ f_6(x):=3x^3-113 $ ist injektiv, jedoch nicht surjektiv (also insbesondere nicht bijektiv).

7.) Die Funktion $ f_7:\IR^2 \rightarrow \IR^2 $ definiert durch $ f_7((x,y)):=(x,y) $ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
Denn:
a) Sind $ (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \IR^2 $ mit $ (x_1,y_1)\not=(x_2,y_2) $, so gilt:
$ f_7((x_1,y_1))=(x_1,y_1)\not=(x_2,y_2)=f_7((x_2,y_2)) $.
Also ist $ f_7 $ injektiv.
b) Ist $ (r_1,r_2)\in \IR^2 $, so gilt:
$ f_7((r_1,r_2))=(r_1,r_2)\in \IR^2 $.
Also ist $ (r_1,r_2) $ (hier: auch) ein Element des Definitionsbereiches mit $ f_7((r_1,r_2))=(r_1,r_2) $, und daher ist $ f_7 $ surjektiv.
Da $ f_7 $ injektiv und surjektiv ist, ist $ f_7 $ bijektiv.

8.)  Die Funktion $ f_8:\IR^2 \rightarrow \IR $ definiert durch $ f_8((x,y)):=x\cdot{}y $ ist surjektiv, aber nicht injektiv (also insbesondere nicht bijektiv).
Denn:
a) $ f_8 $ ist nicht injektiv, da:
$ f_8((0,1))=0\cdot{}1=0=1\cdot{}0=f_8((1,0)) $, aber $ (1,0),(0,1)\in \IR^2 $ mit $ (1,0)\not=(0,1) $.
b) $ f_8 $ ist surjektiv:
Ist $ y \in \IR $ beliebig, aber fest, so gilt etwa für den Punkt $ (1,y)\in \IR^2 $:
$ f_8((1,y))=1\cdot{}y=y $.
Da $ y \in \IR $ beliebig war, ist $ f_8 $ surjektiv.

9.) Sei $ D:=\{(r,s,t) \in \IZ^3: t\not=0\}. $Die Funktion $ f_9:D \to \IQ $ definiert durch $ f_9((x,y,z)):=x\cdot{}\frac{y}{z} $ ist surjektiv, nicht aber injektiv (also auch nicht bijektiv).
Denn:
Wir stellen fest, dass für $ (x,y,z) \in D $ stets $ \left(x\cdot{}\underbrace{\frac{y}{z}}_{beachte:\,\,z\not=0\;wegen\,\,(x,y,z)\in D}\right) \in \IQ $ gilt und damit insbesondere $ f_9 $ wohldefiniert ist.
Weiter gilt:
a) Es sind $ (1,0,1) $,$ (0,0,1)\in D $ mit $ (1,0,1)\not=(0,0,1) $, aber:
$ f_9((1,0,1))=1\cdot{}\frac{0}{1}=1\cdot{}0=0=0\cdot{}\frac{0}{1}=f_9((0,0,1)) $.
Also ist $ f_9 $ nicht injektiv.
b) $ f_9 $ ist surjektiv. Sei dazu $ m \in \IQ $ beliebig, aber fest. Dann gibt es eine Darstellung $ m=\frac{p}{q} $ mit einem $ p \in \IZ $, $ q \in \IN $ (wobei $ \IN=\{1,2,3,...\} $).
Wegen $ \IN \subset \IZ\setminus\{0\} $ gilt also:
$ m=\frac{p}{q} $ mit einem $ p \in \IZ, q \in \IZ\setminus\{0\} $.
Damit gilt:
$ (1,p,q)\in D $ und es folgt:
$ f_9((1,p,q))=1\cdot{}\frac{p}{q}=\frac{p}{q}=m $.
Da $ m \in \IQ $ beliebig war, folgt die Behauptung.
 

Bemerkungen.

1.) Wie man an den ersten drei Beispielen sieht, hängt es wesentlich von dem Definitions- bzw. dem Zielbereich ab, ob eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist. Das ergibt sich auch sofort aus den Definitionen.

2.) Genau dann, wenn eine Funktion bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist, existiert eine Umkehrfunktion.

3.) Mit Worten beschrieben:
Eine Funktion $ f $ heißt:
- injektiv, wenn zwei voneinander verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich stets auch auf zwei voneinander verschiedene Elemente des Zielbereiches abgebildet werden
- surjektiv, wenn für jedes Element des Zielbereiches ein Element im Definitionsbereich so existiert, dass dieses Element des Definitionsbereiches durch $ f $ auf das Element des Zielbereiches abgebildet wird

4.) Die Bijektivität einer Funktion $ f $ läßt sich auch so charakterisieren:
$ f:D \to Z $ ist bijektiv $ \gdw $ Für alle $ y \in Z $ existiert genau ein $ x \in D $ mit $ f(x)=y $.

Beweis:
"$ \Rightarrow $:"
Sei $ f:D \to Z $ bijektiv. Ist $ y_0 \in Z $ beliebig, so existiert wegen der Surjektivität von $ f $ ein $ x_0 \in D $ mit $ f(x_0)=y_0 $.
Ist $ \hat{x} \in D $ mit $ f(\hat{x})=y_0 $, so gilt:
$ y_0=f(x_0)=f(\hat{x}) $,
und da $ f $ injektiv ist, folgt:
$ x_0=\hat{x} $.
Also existiert zu $ y_0 \in Z $ genau ein $ x_0 \in D $ mit $ f(x_0)=y_0 $.
Da $ y_0 \in Z $ beliebig war, folgt die Behauptung.

"$ \Leftarrow $":
Existiere nun zu jedem $ y \in Z $ genau ein $ x \in D $ mit $ f(x)=y $.
Dann ist $ f $ surjektiv (denn insbesondere existiert zu jedem $ y \in Z $ (mindestens) ein $ x \in D $ mit $ f(x)=y $).
Angenommen, $ f $ sei nicht injektiv. Dann gibt es $ x_1\not=x_2 $, $ x_1, x_2 \in D $ mit $ f(x_1)=f(x_2)\in Z $. Das heißt aber, dass es zu $ \hat{y}:=f(x_1) \in Z $ (mindestens) zwei voneinander verschiedene Elemente in $ D $ gibt, deren Bild unter $ f $ gerade $ \hat{y} $ ist. Widerspruch! (Denn es kann nach Vorraussetzung nur genau eines geben!)
Also ist $ f $ injektiv und surjektiv, und damit bijektiv.   $ \Box $

Erstellt: Fr 08.10.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Fr 11.02.2005 um 19:03 von DaMenge
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