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Untervektorraum nachprüfen: Korrektur/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Fr 15.11.2013
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
Auf dem reellen Vektorraum [mm]V:=C^0 ([0,1])[/mm], aller stetigen Funktionen auf [0,1] ist durch
[mm]\langle f | g \rangle := \int_{0}^{1}f(x)g(x) dx[/mm] ein Skalarprodukt definiert. Sei [mm]h:[0,1] \to \IR: x \mapsto 3x[/mm]
Bestimme die Teilmenge [mm]P \subseteq V[/mm] der Polynome [mm]f[/mm] vom Grad [mm]\leq 2[/mm] (mit reellen Koeffizienten) für welche [mm] \langle f|g \rangle=0[/mm] ist.
Ist [mm]P[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm]?


<br>

Hallo, ich habe die Aufgabe soweit verstanden bis auf den Nachweis der Untervektorraum eigenschaft. Ich schreibe mal auf was ich bis jetzt habe.
Wähle [mm]f[/mm] der Form [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] und berechne das Integral.Als Lösung erhalte ich eine Gleichung die ich als Ebene in Koordinatengleichung interpretieren kann.
Sie lautet bei mir
[mm] E:\frac{3}{4}a +b+ \frac{3}{2}c=0[/mm] bzw. [mm]E: 3a +4b+ 6c=0[/mm]. Nun soweit so gut, ich hoffe das stimmt auch soweit?!
Wie kann ich nun die UVR Eigenschaften nach, bzw wie wiederlege ich sie hier gegebenfalls. Dass [mm]0 \in E[/mm] ist, denn für [mm]a=b=c=0[/mm] gilt dies.

        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Fr 15.11.2013
Autor: angela.h.b.


> <br>
> Auf dem reellen Vektorraum [mm]V:=C^0 ([0,1])[/mm], aller stetigen
> Funktionen auf [0,1] ist durch
> [mm]\langle f | g \rangle := \int_{0}^{1}f(x)g(x) dx[/mm] ein
> Skalarprodukt definiert. Sei [mm]h:[0,1] \to \IR: x \mapsto 3x[/mm]

>

> Bestimme die Teilmenge [mm]P \subseteq V[/mm] der Polynome [mm]f[/mm] vom
> Grad [mm]\leq 2[/mm] (mit reellen Koeffizienten) für welche [mm]\langle f|g \rangle=0[/mm]

Hallo,

solltest Du vielleicht sagen, für welche Polynome f gilt <f|h>=0?


> ist.
> Ist [mm]P[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm]?

>

> <br>

>

> Hallo, ich habe die Aufgabe soweit verstanden bis auf den
> Nachweis der Untervektorraum eigenschaft. Ich schreibe mal
> auf was ich bis jetzt habe.
> Wähle [mm]f[/mm] der Form [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] und berechne das
> Integral.Als Lösung erhalte ich eine Gleichung die ich als
> Ebene in Koordinatengleichung interpretieren kann.
> Sie lautet bei mir
> [mm]E:\frac{3}{4}a +b+ \frac{3}{2}c=0[/mm] bzw. [mm]E: 3a +4b+ 6c=0[/mm].

Hallo,

was Du da ausgerechnet hast, ist richtig.
Die Interpretation als Ebene (im geometrischen Sinne) paßt aber nicht zur Aufgabenstellung, denn wie soll diese Ebene Unterraum von V sein?

Zu interpretieren wäre das Ergebnis so:

Die Polynome [mm] f=ax^2+bx+c, [/mm] für deren Koeffizienten die Beziehung [mm] \frac{3}{4}a [/mm] +b+ [mm] \frac{3}{2}c=0 [/mm] erfüllen die Bedingung.

Das sind die Polynome der Gestalt

[mm] f=ax^2+(-\frac{3}{4}a -\frac{3}{2}c)x+c=a*(x^2-\frac{3}{4}x)+c*(1-\frac{3}{2}x) [/mm]

Auf die UVR-Eigenschaft zu untersuchen ist also die Menge

[mm] P:=\{a*(x^2-\frac{3}{4}x)+c*(1-\frac{3}{2}x)| a,c\in \IR\}. [/mm]

Nun mußt Du zeigen, daß das Nullpolynom drin ist, die Summe zweier Polynome aus P wieder in P ist, und daß die Vielfachen von Polynomem aus P auch wieder in P sind.

(Mit Ebene lagst Du aber doch nicht so falsch, denn Es handelt sich um einen zweidimensionalen Unterraum des Polynomraumes.)

LG Angela


> Wie kann ich nun die UVR Eigenschaften nach, bzw wie
> wiederlege ich sie hier gegebenfalls. Dass [mm]0 \in E[/mm] ist,
> denn für [mm]a=b=c=0[/mm] gilt dies.


Bezug
                
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Fr 15.11.2013
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
 



<br>
Danke für deine Antwort, wenn ich das richtig verstehe, ich mach die UVR Untrersuchung mit den Variablen a und c?!
Denn wenn ich x=0 wähle kommt nicht die 0 raus sondern 1c?! Irgendwie verstehe ich das nicht.
muss ich nicht folgendes untersuchen?
UVR Eigenschaft von der Menge [mm] \left \{ ax^2+bx+c| 3a+4b+6c=0 \right \}[/mm]?!


okay ich habe mir nochmal gedanken gemacht, stimmt es denn so:
1.)
a=c=0 erhalte ich das Nullpolynom, also ist dieses in P
2.)
[mm] f_1(x)=a_1(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_1(1-\bruch{3}{2}x) [/mm]

[mm] f_2(x)=a_2(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_2(1-\bruch{3}{2}x) [/mm]

--> [mm] f_1+f_2=a_1(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_1(1-\bruch{3}{2}x)+a_2(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_2(1-\bruch{3}{2}x) =(a_1+a_2)(x^2-\bruch{3}{4}x)+(c_1+c_2)(1-\bruch{3}{2}x) [/mm] und damit [mm] \in [/mm] P

3.)
Sei [mm] \alpha \not= [/mm] 0
[mm] \alpha a(x^2-\bruch{3}{4}x)+\alpha c(1-\bruch{3}{2}x)=\alpha (a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(1-\bruch{3}{2}x)) [/mm] und damit wieder in P
so richtig?!

Bezug
                        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Fr 15.11.2013
Autor: angela.h.b.


> <br>
>  

>
>

> <br>
> Danke für deine Antwort, wenn ich das richtig verstehe,
> ich mach die UVR Untrersuchung mit den Variablen a und c?!
> Denn wenn ich x=0 wähle kommt nicht die 0 raus sondern
> 1c?! Irgendwie verstehe ich das nicht.
> muss ich nicht folgendes untersuchen?
> UVR Eigenschaft von der Menge [mm]\left \{ ax^2+bx+c| 3a+4b+6c=0 \right \}[/mm]?!

Hallo,

ja, genau.

Die Elemente dieser Menge sind gewisse Polynome.

>

> okay ich habe mir nochmal gedanken gemacht, stimmt es denn
> so:
> 1.)
> a=c=0 erhalte ich das Nullpolynom, also ist dieses in P

Genau.

> 2.)
> [mm]f_1(x)=a_1(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_1(1-\bruch{3}{2}x)[/mm]

>

> [mm]f_2(x)=a_2(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_2(1-\bruch{3}{2}x)[/mm]

>

> -->
> [mm]f_1+f_2=a_1(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_1(1-\bruch{3}{2}x)+a_2(x^2-\bruch{3}{4}x)+c_2(1-\bruch{3}{2}x) =(a_1+a_2)(x^2-\bruch{3}{4}x)+(c_1+c_2)(1-\bruch{3}{2}x)[/mm]
> und damit [mm]\in[/mm] P

Ja.

>

> 3.)
> Sei [mm]\alpha \not=[/mm] 0

Das darf auch =0 sein. Sei [mm] \alpha\in \IR. [/mm]

> [mm]\alpha a(x^2-\bruch{3}{4}x)+\alpha c(1-\bruch{3}{2}x)=\alpha (a(x^2-\bruch{3}{4}x)+c(1-\bruch{3}{2}x))[/mm]

Ich hätte die Gleichung andersrum hingeschrieben.

> und damit wieder in P

Ja.

> so richtig?!

Ja.

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Korrektur Teil 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Fr 15.11.2013
Autor: Frisco

Aufgabe
<br>
Sei [mm]Q \subseteq V [/mm] die Teilmenge der Polynome [mm]f[/mm] vom Grad [mm]\leq 3[/mm], die [mm] \langle f-h|f-h \rangle =3[/mm] erfüllen. Ist [mm]Q[/mm] ein UVR


<br>
ich habe mich nun an diese Aufgabe gemacht und vielleicht könntet Ihr meine Lösung korrigieren.
Wähle [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] und [mm]h[/mm]sei wieder [mm]h(x)=3x[/mm]. Dann ist [mm]f-h=ax^3+bx^2+(c-3)x+d =:g(x)[/mm].
Dann ist [mm] \langle f-h | f-h \rangle= \int_{0}^{1} g(x)^2 dx=...= \frac{1}{7}a^2+ \frac{1}{3}ab+ \frac{2}{5}(c-3)a+ \frac{1}{5}b^2+ \frac{1}{2}ad+ \frac{1}{2}(c-3)b+ \frac{2}{3}db+ \frac{1}{3}(c-3)^2+d(c-3)+d^2 =:e [/mm]
--> [mm] \langle g|g \rangle=3 \Rightarrow e-3=0 \Rightarrow Q:= \left \{ e-3 \mid a,b,c,d \in \IR \right \}[/mm]
Nun behaupte ich dass [mm]Q[/mm] kein UVR ist, da dass 0-Polynom nicht in [mm]Q[/mm]ist (wegen [mm]e-3[/mm]).... Ist das so richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Fr 15.11.2013
Autor: angela.h.b.


> <br>
> Sei [mm]Q \subseteq V[/mm] die Teilmenge der Polynome [mm]f[/mm] vom Grad
> [mm]\leq 3[/mm], die [mm]\langle f-h|f-h \rangle =3[/mm] erfüllen. Ist [mm]Q[/mm] ein
> UVR

>

> <br>
> ich habe mich nun an diese Aufgabe gemacht und vielleicht
> könntet Ihr meine Lösung korrigieren.
> Wähle [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] und [mm]h[/mm]sei wieder [mm]h(x)=3x[/mm]. Dann
> ist [mm]f-h=ax^3+bx^2+(c-3)x+d =:g(x)[/mm].
> Dann ist [mm]\langle f-h | f-h \rangle= \int_{0}^{1} g(x)^2 dx=...= \frac{1}{7}a^2+ \frac{1}{3}ab+ \frac{2}{5}(c-3)a+ \frac{1}{5}b^2+ \frac{1}{2}ad+ \frac{1}{2}(c-3)b+ \frac{2}{3}db+ \frac{1}{3}(c-3)^2+d(c-3)+d^2 =:e[/mm]

Hallo,

das habe ich nicht nachgerechnet.

>

> --> [mm]\langle g|g \rangle=3 \Rightarrow e-3=0 \Rightarrow Q:= \left \{ e-3 \mid a,b,c,d \in \IR \right \}[/mm]

Daß Q der von Dir angegebene UVR ist, ist doch Quatsch mit Soße.
Vorausgesetzt, Du hast richtig gerechnet, wäre es doch - wenn überhaupt-

[mm] Q:=\{ax^3+bx^2+cx+d| \frac{1}{7}a^2+ \frac{1}{3}ab+ \frac{2}{5}(c-3)a+ \frac{1}{5}b^2+ \frac{1}{2}ad+ \frac{1}{2}(c-3)b+ \frac{2}{3}db+ \frac{1}{3}(c-3)^2+d(c-3)+d^2=3\}. [/mm]

Mit dieser Darstellung läßt sich nicht allzuviel anfangen, ich überblicke das jedenfalls nicht.
>

> Nun behaupte ich dass [mm]Q[ /mm] kein UVR ist, da dass 0-Polynom
> nicht in [mm]Q[/mm]ist

Na! Dann rechne doch mal <0-3x|0-3x> aus...

Hast Du außer dem Nullpolynom noch ein Polynom f gefunden, für welches [mm] \langle [/mm] f-h | f-h [mm] \rangle [/mm] =3 gilt?
Dann schau doch mal, ob auch 27*f in der Menge [mm] Q:=\{f\in V|\langle f-h | f-h \rangle =3\} [/mm] liegt.

LG Angela





> (wegen [mm]e-3[/mm]).... Ist das so richtig?


Bezug
                                        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Fr 15.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> <br>
>  Sei [mm]Q \subseteq V[/mm] die Teilmenge der Polynome [mm]f[/mm] vom Grad
> [mm]\leq 3[/mm], die [mm]\langle f-h|f-h \rangle =3[/mm] erfüllen. Ist [mm]Q[/mm] ein
> UVR

bei Dir steht doch irgendwo, dass Du denkst, dass das Nullpolynom [mm] $n\,$ [/mm] nicht
zu [mm] $Q\,$ [/mm] gehört. Rechne es doch direkt nach:

    [mm] $=\int_0^1 (0-3x)^2dx=9\int_0^1 x^2dx=9*\frac{1}{3}*(1^3-0^3)=9/3=3\,.$ [/mm]

Daher folgt $n [mm] \in Q\,.$ [/mm]

Damit kannst Du also nicht zeigen, dass [mm] $Q\,$ [/mm] kein UVR ist!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Fr 15.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> <br>
>  Auf dem reellen Vektorraum [mm]V:=C^0 ([0,1])[/mm], aller stetigen
> Funktionen auf [0,1] ist durch
>  [mm]\langle f | g \rangle := \int_{0}^{1}f(x)g(x) dx[/mm] ein
> Skalarprodukt definiert. Sei [mm]h:[0,1] \to \IR: x \mapsto 3x[/mm]
>  
> Bestimme die Teilmenge [mm]P \subseteq V[/mm] der Polynome [mm]f[/mm] vom
> Grad [mm]\leq 2[/mm] (mit reellen Koeffizienten) für welche [mm]\langle f|g \rangle=0[/mm]
> ist.
>  Ist [mm]P[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm]?

man kann die UVR-Aufgabe lösen, ohne vorher [mm] $P\,$ [/mm] konkret angegeben
zu haben:
Die Nullfunktion $n [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $n(x) [mm] :\equiv [/mm] 0$ (klar dabei: $n [mm] \in V=C^0([0,1])$) [/mm]
ist offenbar in [mm] $P\,,$ [/mm] denn es gilt

    $<n|h>=...$?

Seien $p,q [mm] \in [/mm] P$ also zwei Polynome (mit reellen Koeff.) vom Grad [mm] $\le 2\,,$ [/mm] die

    $<p|h>=0$ und $<q|h>=0$

erfüllen. Dann ist [mm] $p+q\,$ [/mm] ein Polynom (mit reellen Koeff.) vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ und
es gilt

    [mm] $\;=\;\,+\,$ [/mm] (warum?)

und damit...?

Ist nun [mm] $\lambda \in \IR\,,$ [/mm] so folgt zudem

    [mm] $<\lambda*p|h>=\lambda*$ [/mm] (warum?)

und damit...?

P.S. Ich sehe es übrigens als Teilaufgabe an, auch nachzuweisen, dass
[mm] $<.|.>\,$ [/mm] wirklich ein Skalarprodukt auf [mm] $V\,$ [/mm] ist - aber das, was ich oben angedeutet
habe, kannst Du auch rein per Definitionem

    [mm] $=\int_0^1 [/mm] (f(x)g(x))dx$

mit Wissen über Integralrechnung nachrechnen! Ebenso würde ich
persönlich hier gerade auch einen kurzen Verweis darauf sehen wollen,
warum eigentlich $P [mm] \subseteq [/mm] V$ gilt (dazu habt ihr sicher mal einen entsprechenden
Satz im Skript formuliert).

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Untervektorraum nachprüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Fr 15.11.2013
Autor: Marcel

Hallo Frisco,

> <br>
>  Auf dem reellen Vektorraum [mm]V:=C^0 ([0,1])[/mm], aller stetigen
> Funktionen auf [0,1] ist durch
>  [mm]\langle f | g \rangle := \int_{0}^{1}f(x)g(x) dx[/mm] ein
> Skalarprodukt definiert. Sei [mm]h:[0,1] \to \IR: x \mapsto 3x[/mm]
>  
> Bestimme die Teilmenge [mm]P \subseteq V[/mm] der Polynome [mm]f[/mm] vom
> Grad [mm]\leq 2[/mm] (mit reellen Koeffizienten) für welche [mm]\langle f|g \rangle=0[/mm]
> ist.
>  Ist [mm]P[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm]?
>  
> <br>
>  
> Hallo, ich habe die Aufgabe soweit verstanden bis auf den
> Nachweis der Untervektorraum eigenschaft. Ich schreibe mal
> auf was ich bis jetzt habe.
>  Wähle [mm]f[/mm] der Form [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] und berechne das
> Integral.Als Lösung erhalte ich eine Gleichung die ich als
> Ebene in Koordinatengleichung interpretieren kann.
>  Sie lautet bei mir
>  [mm]E:\frac{3}{4}a +b+ \frac{3}{2}c=0[/mm] bzw. [mm]E: 3a +4b+ 6c=0[/mm].

ich weiß nicht, wie sauber Du das bei Dir stehen hast, aber Du solltest
am Besten sowas schreiben wie
Für [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] (mit $a,b,c [mm] \in \IR$) [/mm] gilt
    
    $f [mm] \in [/mm] P$ [mm] $\iff$ $3a+4b+6c=0\,.$ [/mm]
(Beide Folgerungsrichtungen sollten sich mit Deinen Überlegungen ergeben!)

Denn Du benutzt später bei Deinen Unterraumargumenten ja beide
Richtungen des [mm] $\iff$'s! ($P\,$ [/mm] wird hier quasi nochmal anders "charakterisiert"!)

Gruß,
  Marcel

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