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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Die Matrix A sei gegeben mit [mm] \pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 }. [/mm] Berechnen Sie Kern(A). |
Hi Leute, hab mal ne Frage. Ich hab die Matrix erst in NZSF gebracht. Dann steht da [mm] \pmat{ 1 & 0 & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Jetzt muss man ja die KV als NKV ausdrücken. Jetzt ist mein Frage: setzt man die NKV=t dann wär der Kern ja [mm] \vektor{\bruch{3t}{5} \\ 0 \\ t} [/mm] oder wie macht man das?
Gruß David
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Moin David,
> Die Matrix A sei gegeben mit [mm]\pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 }.[/mm]
> Berechnen Sie Kern(A).
> Hi Leute, hab mal ne Frage. Ich hab die Matrix erst in
> NZSF gebracht. Dann steht da [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
> Jetzt muss man ja die KV als NKV ausdrücken. Jetzt ist
> mein Frage: setzt man die NKV=t
Was ist denn ein NKV? Ein normalisierter Vektor des Kerns?
> dann wär der Kern ja
> [mm]\vektor{\bruch{3t}{5} \\ 0 \\ t}[/mm] oder wie macht man das?
Das ist kein Vektor des Kerns. Setz doch mal ein. Für t=1 ist die erste Komponente [mm] \neq0.
[/mm]
Bei der Bestimmung des Kerns setzt man etwa eine freie Variable auf 1 (hier gibt es nur eine in der 3. Spalte) und ermittelt die anderen Variablen in Abhängigkeit von dieser. So erhält man einen Basisvektor des Kerns.
> Gruß David
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
ohh sorry hab das e bei ein vergessen^^ NKV heißt Nichtkopfvariable^^ also man des die erste NKV=1 und die anderen 0 und danach die zweite NKV=1 und die anderen 0 usw. da hier nur eine NKV vorhanden ist erhält man für den Kern [mm] \vektor{-3/5 \\ 0 \\ 1} [/mm] Also so macht man das ja auch wenn man eine Basis des Kerns bestimmen soll oder?
Gruß David
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> ohh sorry hab das e bei ein vergessen^^ NKV heißt Nichtkopfvariable^^
> also man des die erste NKV=1 und die
> anderen 0 und danach die zweite NKV=1 und die anderen 0
> usw. da hier nur eine NKV vorhanden ist erhält man für die Basis des Kerns [mm]\vektor{-3/5 \\ 0 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also so macht man das ja auch wenn man eine Basis des Kerns bestimmen soll oder?
Richtig, so kann man das machen.
> Gruß David
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann weiß ich bescheid dass man das Gleiche machen muss wenn Kern und Basis des Kerns gesucht ist^^ Gilt das auch für die Bestimmung des Bildes und der Basis des Bildes? Macht man da auch das Gleiche?
Gruß David
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> ok dann weiß ich bescheid dass man das Gleiche machen muss
> wenn Kern und Basis des Kerns gesucht ist^^ Gilt das auch
> für die Bestimmung des Bildes und der Basis des Bildes?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Gruß David
Bestimmung des Bildes
Das Bild wird von den Spaltenvektoren der Matrix erzeugt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok ok...jetzt muss ich die Diagonalmatrix bestimmen, sodass [mm] SDS^{-1} [/mm] gilt. Für die Matrix S muss ich ja die Eigenvektoren bestimmen. Die Eigenwerte der Matrix sind [mm] \lambda_{1,2}=-1 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=0. [/mm] Der Eigenvektor zum EW [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] ist der Kern also [mm] \vektor{-3/5 \\ 0 \\ 1}. [/mm] So und wie bestimme ich jetzt den Eigenvektor zu dem anderen (doppelten) EW [mm] \lambda_{1,2}=-1 [/mm] ? Dazu muss ich mich ja an die Gleichung [mm] A*v=\lambda*v [/mm] halten. Aber wie stell ich dass denn jetzt um nach v?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok ok...jetzt muss ich die Diagonalmatrix bestimmen, sodass
> [mm]SDS^{-1}[/mm] gilt. Für die Matrix S muss ich ja die
> Eigenvektoren bestimmen. Die Eigenwerte der Matrix sind
> [mm]\lambda_{1,2}=-1[/mm] und [mm]\lambda_{3}=0.[/mm] Der Eigenvektor zum EW
> [mm]\lambda_{3}=0[/mm] ist der Kern also [mm]\vektor{-3/5 \\ 0 \\ 1}.[/mm] So
> und wie bestimme ich jetzt den Eigenvektor zu dem anderen
> (doppelten) EW [mm]\lambda_{1,2}=-1[/mm] ? Dazu muss ich mich ja an
> die Gleichung [mm]A*v=\lambda*v[/mm] halten. Aber wie stell ich dass
> denn jetzt um nach v?
Bestimme den Kern von [mm]A-\lambda*E[/mm],
wobei E die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
das wär ja dann [mm] \pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 } [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] also [mm] \pmat{ 6 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -10 & 5 & -5 } [/mm] oder was? :O
Gruß David
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Hallo David90,
> das wär ja dann [mm]\pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm] also
> [mm]\pmat{ 6 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -10 & 5 & -5 }[/mm] oder was?
Genau.
> :O
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 21.03.2011 | | Autor: | David90 |
und wie komm ich jetzt von dieser matrix auf die eigenvektoren?
Gruß David
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Hallo David90,
> und wie komm ich jetzt von dieser matrix auf die
> eigenvektoren?
Siehe hier:Bestimmumg des Kerns
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 25.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok also wenn man den Kern bestimmt muss man ja folgendes Gleichungssystem lösen:
(1) [mm] 6v_{1}-3v_{2}+3v_{3}=0
[/mm]
(2) 0=0
(3) [mm] -10v_{1}+5v_{2}-5v_{3}=0
[/mm]
Aber wenn man jetzt versucht es zu lösen kürzen sich ja alle Variablen raus :O
Gruß David
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Hallo David,
> ok also wenn man den Kern bestimmt muss man ja folgendes
> Gleichungssystem lösen:
> (1) [mm]6v_{1}-3v_{2}+3v_{3}=0[/mm]
> (2) 0=0
> (3) [mm]-10v_{1}+5v_{2}-5v_{3}=0[/mm]
>
> Aber wenn man jetzt versucht es zu lösen kürzen sich ja
> alle Variablen raus :O
Jo, die letzte Zeile ist auch redundant.
Damit bleibt für die Zeilenstufenform
[mm] $\pmat{6&-3&3\\0&0&0\\0&0&0}$
[/mm]
Mithin 2 frei wählbare Parameter, setze [mm] $v_3=t, v_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Der Kern ist also hier 2-dimensional.
Gruß
schachuzipus
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Sa 26.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ja aber für die Matrix S brauch ich ja 2 eindeutige Eigenvektoren...in der Lösung steht dass für die Eigenwerte [mm] \lambda_{1/2}=-1 [/mm] die Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] rauskommen...aber da steht nich wie...und mit dem Kern komm ich auch nich drauf :(
Gruß David
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Hallo David,
wenn ich das richtig sehe, geht es um die Ausgangsmatrix
[mm]A=\pmat{5&-3&3\\
0&-1&0\\
-10&5&-6}[/mm]
Die hat die Eigenwerte [mm]\lambda_{1,2}=-1[/mm] und [mm]\lambda_3=0[/mm], soweit richtig.
Um nun entsprechend einen (oder mehrere) Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}=-1[/mm] zu berechnen, nimmt man sich die Matrix [mm]A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_3[/mm] vor und bestimmt deren Kern, wie oben geschehen.
Das liefert die Matrix [mm]\pmat{6&-3&3\\
0&0&0\\
-10&5&-5}[/mm]
Diese in Zeilenstufenform gebracht, ergibt
[mm]\pmat{2&-1&1\\
0&0&0\\
0&0&0}[/mm]
Wie oben schon gesagt, hast du nun eine Gleichung in 3 Variablen, mithin 2 frei wählbare, also bekommst du einen Kern der Dimension 2 (er wird also von 2 (lin. unabh. Eigen-)Vektoren aufgepannt)
Nach meinem Hinweis wähle [mm]v_3=t, v_2=s[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Dann steht in Zeile 1:
[mm]2v_1-v_2+v_3=0[/mm], also [mm]2v_1-s+t=0[/mm], also [mm]v_1=\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t[/mm]
Ein Vektor aus dem Kern hat also die Gestalt [mm]\vektor{v_1\\
v_2\\
v_3}=\vektor{\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t\\
s\\
t}=\vektor{\frac{1}{2}s\\
s\\
0}+\vektor{-\frac{1}{2}t\\
0\\
t}=s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\
0\\
1}[/mm] mit bel. [mm]s,t\in\IR[/mm]
Für [mm]s=t=2[/mm] etwa bekommst du [mm]\vektor{1\\
2\\
0}+\vektor{-1\\
0\\
2}[/mm]
Diese beiden sind linear unabh. und spannen den Kern auf, also [mm]Kern(A-(-1)\mathbb{E}_3)=\left\langle{\vektor{1\\
2\\
0},\vektor{-1\\
0\\
1}\right\rangle}[/mm]
Wie man da auf den einen Eigenvektor in der Musterlösung kommen soll, ist mir schleierhaft ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 26.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ist es egal was ich für s und t einsetze? Dann kann man ja unendlich viele Eigenvektoren rauskriegen oder?
Gruß David
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Hallo nochmal,
> Ist es egal was ich für s und t einsetze? Dann kann man ja
> unendlich viele Eigenvektoren rauskriegen oder?
Ja, der Kern der Matrix [mm] $A-\lambda_1\mathbb{E}_3$ [/mm] ist ja ein Vektorraum.
Er besteht aus sämtlichen Eigenvektoren bzgl. dem Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] und zusätzlich dem Nullvektor, der ja per definitionem kein EV ist.
> Gruß David
Zurück
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Matrix A sei gegeben mit [mm]\pmat{ 5 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -10 & 5 & -6 }.[/mm]
> Berechnen Sie Kern(A).
> Hi Leute, hab mal ne Frage. Ich hab die Matrix erst in
> NZSF gebracht. Dann steht da [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
> Jetzt muss man ja die KV als NKV ausdrücken. Jetzt ist
> mein Frage: setzt man die NKV=t dann wär der Kern ja
> [mm]\vektor{\bruch{3t}{5} \\ 0 \\ t}[/mm] oder wie macht man das?
> Gruß David
NZSF, KV, NKV ?
NSZF= New Zealand Shipping Federation (http://www.nzsf.org/)
KV , da gibts viel : http://de.wikipedia.org/wiki/KV
NKV = Niederbergischer Katzenverein (http://www.nkvev.de/)
Hast Du einen AKÜFI ?
(http://de.wiktionary.org/wiki/Aküfi)
Jetzt hab ich mir aber viel Mühe gemacht, um zu verstehen, von was Du sprichst.
FRED
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