Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Benko |
Hallo ich soll die im Anhang stehende Aufgabe bearbeiten. Nachdem ich die Potenzreihe entwickelt habe, möchte ich das Quantenkriterium und den Konvergenzradius berechnen.
Habe ich getan. Nur weiß ich nicht recht ( bin kein Profi), was ich für x² am Ende der Rechnungen einsetzen muss. Null jedenfalls nich, dann wäre der Radius ja nicht lösbar.
Bitte um Abhilfe
Ps.: Aufgabe im Anhang.
Viele Grüße Benko
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ich soll die im Anhang stehende Aufgabe bearbeiten.
> Nachdem ich die Potenzreihe entwickelt habe, möchte ich
> das Quantenkriterium
is' ja Quant - eigentlich willst Du das
![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium(!)
anwenden.
> und den Konvergenzradius berechnen.
> Habe ich getan. Nur weiß ich nicht recht ( bin kein
> Profi), was ich für x² am Ende der Rechnungen einsetzen
> muss. Null jedenfalls nich, dann wäre der Radius ja nicht
> lösbar.
> Bitte um Abhilfe
>
> Ps.: Aufgabe im Anhang.
Abtippen bitte. Du kannst den Konvergenzradius direkt nach Cauchy-Hadamard
berechnen, oder Du berechnest ihn, was aber nicht immer geht, so wie
hier mithilfe einer Formel, die direkt aus dem Quotientenkriterium folgt.
Bei Dir ist
[mm] $\sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n+1}=x*\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}=x*\sum_{k=0}^\infty a_n z^n$
[/mm]
gegeben, und man fragt sich, für welche [mm] $x\,$ [/mm] bzw. [mm] $z=x^2\,$ [/mm] die Reihe rechterhand
konvergiert. [Hier ist [mm] $a_n=1/((2n+1)!)$]
[/mm]
(Edit: Korrekturen vorgenommen!)
Schreib' Dir das mal sauber hin:
Nach dem QK konvergiert die Reihe sicher dann, wenn
[mm] $\limsup_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}z^{n+1}|}{|a_n z_n|} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Es gilt (ich schreibe nur noch kurz [mm] $\limsup:=\limsup_{n \to \infty}$)
[/mm]
[mm] $...=|z|*\limsup |a_{n+1}/a_n| [/mm] < 1$
[mm] $\iff$ [/mm] $|z| < [mm] 1/\limsup |a_{n+1}/a_n|$ [/mm]
[mm] $\iff$ $x^2 [/mm] < [mm] 1/\limsup |a_{n+1}/a_n|.$
[/mm]
Wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind, kann man [mm] $\lim=\limsup$ [/mm] schreiben (nämlich
dann, wenn der Grenzwert existiert). Dann gibt's noch sowas wie
[mm] $\lim (1/r_n)=1/\lim r_n\,,$
[/mm]
was hier zwar "schwer" wird, aber wir erinnern uns an
$0 < [mm] r_n \to [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $1/r_n \to \infty.$
[/mm]
Im Endeffekt wirst Du oben sehen: Deine Reihe konvergiert für alle reellen
[mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $x^2 [/mm] < [mm] \infty\,,$
[/mm]
also für alle.
Das, was ich Dir hier jetzt so *grob* erzählt habe, wird unter anderem auch
hier
erwähnt.
Genauer gehe jedenfalls ich erst auf Deine Aufgabe ein, wenn Du bitte den
Formeleditor:
https://matheraum.de/mm bzw. siehe auch Wiki
benutzt und Dir die Mühe machst, das Ganze mal abzutippen. Dann spreche
ich auch gerne *konkreter* und weniger *bildhaft*..
Und nein, ist nicht böse gemeint, nur kann man solche Bilder einfach
schlecht korrigieren bzw. an den passenden Stellen kommentieren.
P.S. Der Konvergenzradius einer Funktionenreihe kann nicht mehr von
der Funktionsvariablen abhängen - siehe auch oben:
Da stehen [mm] $a_n\,,$ [/mm] und nicht [mm] $a_n(x)$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Benko |
| Aufgabe | | Entwickeln sie die Potenzreihe |
sinh(x))= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
--> das doch meine entwickelte Potenzreihe, oder?
Quantenkriterium:
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}+1}{a_{a}}| [/mm]
[mm] =|\bruch{x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}*\bruch{(2n+1)!}{x^{2n+1}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{2n+3}}{x^{2n+1}}*\{(2n+1)!}{(2n+3)!} [/mm]
= [mm] \bruch{x^2}{(2n+x)(2n+3)} [/mm] => 0<1
da q kleiner 1 ist die Reihe konvergent!
(Frage: wie gehe ich mit [mm] x^2 [/mm] um ?)
Konvergenzradius:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}*\bruch{(2(n+1)+1)!}{x^{2(n+1)+1}} [/mm] |
[mm] =\bruch{x^{2n+3}}{x^{2n+1}}*\bruch{(2n+1)!}{(2n+3)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+2)(2n+3)}{x^2}= \infty
[/mm]
--> beständig konvergent
(Frage: gleich, wie oben)
Bitte so verständlich (simpel!) wie möglich antworten ;)
übrigens danke für die Antwort von vorhin Marcel ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Marcel hat leider nicht gemerkt, dass es sich hier um den
Sinus Hyperbolicus handelt.
> Entwickeln sie die Potenzreihe
> sinh(x))= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> --> das doch meine entwickelte Potenzreihe, oder?
Ja, aber die eine Klammer ist zu viel. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Quantenkriterium:
Nein. Quotientenkriterium!
> [mm]q=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}+1}{a_{a}}|[/mm]
Nein. Übrigens ist es leider kein Fehler wegen dem nicht-
Benutzen von geschweiften Klammern, sondern schlicht und
einfach falsch hingeschrieben. Pass auf auf mit den Indizes,
denn dabei gibt es Punktabzüge bei einer Klausur. Betrachte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|.
[/mm]
> [mm]=|\bruch{x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}*\bruch{(2n+1)!}{x^{2n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x^{2n+3}}{x^{2n+1}}*\{(2n+1)!}{(2n+3)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x^2}{(2n+x)(2n+3)}[/mm] => 0<1
Hier sind ein paar Fehler bei der Setzung der Klammern und
du hast ein paar Indizes falsch, aber ich bin mir eigentlich
sicher, dass du hier das richtige meinst. Beachte aber, dass
du am Ende einen Grenzwert betrachtest und deshalb musst du
am Ende so etwas in der Art stehen haben:
[mm] $\bruch{x^2}{(2n+2)(2n+3)}\to [/mm] 0<1$, [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Konvergenzradius:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}*\bruch{(2(n+1)+1)!}{x^{2(n+1)+1}}[/mm]
> |
> [mm]=\bruch{x^{2n+3}}{x^{2n+1}}*\bruch{(2n+1)!}{(2n+3)!}[/mm]
> [mm]=\bruch{(2n+2)(2n+3)}{x^2}= \infty[/mm]
>
> --> beständig konvergent
Siehe am Ende bei der Grenzwertbetrachtung meine Bemerkung
zu oben. Übrigens musst du nicht beides explizit hinschreiben.
Wenn du das eine hast kannst du mit einer kurzen Begründung
zum anderen kommen (Wie?).
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Do 06.03.2014 | | Autor: | Benko |
Danke 8!
Ja mit dem Schreiben muss ich noch bisschen üben ;)
Also kann man sagen, dass, wenn das [mm] x^2 [/mm] im Zähler steht (und der Restterm mit n im Nenner), die Folge nach 0 konvergiert.
Andersherum andersherum ..
Ist das richtig?
Gruß
Benko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Danke 8!
> Ja mit dem Schreiben muss ich noch bisschen üben ;)
>
> Also kann man sagen, dass, wenn das [mm]x^2[/mm] im Zähler steht
> (und der Restterm mit n im Nenner), die Folge nach 0
> konvergiert.
> Andersherum andersherum ..
Andersrum ist ein sehr gewagter Begriff, aber ich weiß was
du hier sagen willst. 
> Ist das richtig?
Ja, denn wir betrachten [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Do 06.03.2014 | | Autor: | Benko |
gehört das [mm] x^2 [/mm] überhaupt mit in die Betrachtung des Quotientenkriteriums hinein?
Weil die Bedingung ja lautet :
q= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Leider hast du die komplette Aufgabenstellung nicht auf-
geschrieben, aber es geht doch um die Potenzreihe
[mm] \sinh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-x_0)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-0)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
[/mm]
- Oder anders:
[mm] \sinh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n*x^{2n+1} [/mm] mit [mm] a_n:=\frac{1}{(2n+1)!}.
[/mm]
Du hast den Konvergenzradius [mm] \rho:=\infty [/mm] richtig berechnet.
Demnach konvergiert [mm] \sinh [/mm] für alle $x$.
Du kannst dir aber überlegen, dass der Konvergenzradius auf
dem Quotientenkriterium aufbaut.
Was die genaue und vor Allem vollständige Aufgabenstellung
ist kann ich dir nicht sagen. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Benko,
nur, damit es mal ganz deutlich da steht: Ich würde das QK nicht direkt
auf die Reihe mit [mm] $x\,$ [/mm] anwenden. Das geht auch, aber dann muss man
genau aufpassen, was man hinschreiben darf.
Mach' es erstmal so, wie ich es vorschlug (analog):
Mit [mm] $z:=x^2$ [/mm] folgt
[mm] $\sinh(x)=x*\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!}z^n.$
[/mm]
Nach dem Quotienten-Kr. konvergiert diese Reihe rechterhand in [mm] $z\,$
[/mm]
für alle [mm] $z\,,$ [/mm] für die
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{z^{n+1}}{z^n}\right|\frac{1/((2n)!)}{1/((2n+1)!)} [/mm] < [mm] 1\,$
[/mm]
gilt.
Also liegt (das überlege Dir!) schonmal Konvergenz für alle [mm] $z\,,$ [/mm] die
$|z| < [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)!}{(2n)!}=\red{\lim_{n \to \infty} (2n+1)=\infty}$
[/mm]
erfüllen, vor.
Also konvergiert die Ausgangsreihe für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $x^2 [/mm] < [mm] \red{\infty}$
[/mm]
vor - rechterhand siehst Du nun hier(!) automatisch den Konvergenzradius.
Ansonsten kannst Du auch mal
diesen Artikel von mir
lesen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> Marcel hat leider nicht gemerkt, dass es sich hier um den
> Sinus Hyperbolicus handelt.
stimmt, da hatte ich mich verlesen (wieder mal ein Grund, das Ganze besser
abzutippen).
Ich kann aber sagen: Im Wesentlichen war das für meine Antwort unwesentlich!
Gruß,
Marcel
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