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achsenschnittpunkte: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 06.01.2009
Autor: haZee

Aufgabe
Berechnen von Achsenschnittpunkten/ Nullstellen der folgenden Funktionen:

a) f(x)=x/(1+x²)
b) f(x)=e^sinx
c) f(x)=sin²(2x)
d) f(x)=ln(x²-4)
e) f(x)=|12+x-x²| mit Df=[-5;5]

bei a) hab ich Schnittpkt mit x-achse Sx=(0/0) und Schnittpkt. mit y-achse Sy=(0/0)

bei b) hab ich Sx keine Lösung und Sy=(0/1)

c) Sx --> sin²(2x)=0
da steh ich irgendwie auf dem schlauch

d) F(x)=0    
ln1=0
x²-4=1
x²=5
[mm] x_{1}=-\wurzel{5} Sx_{1}=(0/-\wurzel{5}) [/mm]
[mm] x_{2}=\wurzel{5} Sx_{2}=(0/\wurzel{5}) [/mm]

f(0)=ln(0²-4)=keine Lösung -->kein Schnittpkt. mit der y-achse

e) ganz große fragezeichen im kopf

könnt ihr mal gucken ob ich das richitg gemacht hab? und mir mal nen denkanstoß für die restlichen aufgaben geben?

dankäää :)


        
Bezug
achsenschnittpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Di 06.01.2009
Autor: MathePower

Hallo haZee,

> Berechnen von Achsenschnittpunkten/ Nullstellen der
> folgenden Funktionen:
>  
> a) f(x)=x/(1+x²)
>  b) f(x)=e^sinx
>  c) f(x)=sin²(2x)
>  d) f(x)=ln(x²-4)
>  e) f(x)=|12+x-x²| mit Df=[-5;5]
>  
> bei a) hab ich Schnittpkt mit x-achse Sx=(0/0) und
> Schnittpkt. mit y-achse Sy=(0/0)


[ok]


>  
> bei b) hab ich Sx keine Lösung und Sy=(0/1)


[ok]


>  
> c) Sx --> sin²(2x)=0
> da steh ich irgendwie auf dem schlauch


Untersuche, wann [mm]\sin\left(2x\right)=0[/mm] gilt


>  
> d) F(x)=0    
> ln1=0
>  x²-4=1
>  x²=5
>  [mm]x_{1}=-\wurzel{5} Sx_{1}=(0/-\wurzel{5})[/mm]
>  [mm]x_{2}=\wurzel{5} Sx_{2}=(0/\wurzel{5})[/mm]


Das ist wohl eher ander herum:

[mm]Sx_{1}=(-\wurzel{5}/0)[/mm]
[mm]Sx_{2}=(+\wurzel{5}/0)[/mm]


>  
> f(0)=ln(0²-4)=keine Lösung -->kein Schnittpkt. mit der
> y-achse


[ok]


>  
> e) ganz große fragezeichen im kopf


Hier kannst Du mit quadratischer Ergänzung oder
mit der PQ-Formel bzw. ABC-Formel arbeiten.



>  
> könnt ihr mal gucken ob ich das richitg gemacht hab? und
> mir mal nen denkanstoß für die restlichen aufgaben geben?
>  
> dankäää :)
>  


Gruß
MathePower

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achsenschnittpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mi 07.01.2009
Autor: haZee

bei c) hab ich jetzt das raus:
f(x)=0    
sin²(2x)=0
sin(x)sin(x)(2x)=0
2x=0
x=0
Sx=(0/0)
f(0)=sin²(2*0)=0
Sy=(0/0)

zu e)
mich verunsichern die Betragsstriche
aber ohne diese würde ich erstmal in die normalform umstellen:
-x²+x+12=0
aber die Betragststriche darf ich doch bestimmt nicht einfach weglassen und was mach ich mit dem minus???

Bezug
                        
Bezug
achsenschnittpunkte: c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mi 07.01.2009
Autor: Roadrunner

Hallo haZee!


Der Schnittpunkt auf der y-Achse ist korrekt.

Aber Du hast hier [mm] $\sin^2(2x)$ [/mm] falsch "übersetzt". Es gilt:

[mm] $$\sin^2(2x) [/mm] \ = \ [mm] \left[\sin(2x)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)*\sin(2x) [/mm] \ = \ 0$$
Bei der Nullstellenermittlung musst Du nun noch beachten, dass die []Sinus-Funktion periodisch verläuft und demnach unendlich viele Nullstellen hat.


Gruß vom
Roadrunner


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achsenschnittpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mi 07.01.2009
Autor: haZee

kann ich hier einfach sin(2x) dividieren, dass nur noch sin(2x)=0 übrig bleibt? und was mach ich dann? kannst du mir das mal vorrechnen?

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Bezug
achsenschnittpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 07.01.2009
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo haZee,

> kann ich hier einfach sin(2x) dividieren,

nein, dividieren ist keine gute Idee, aber nutze den Satz vo Nullprodukt.
Ein Produkt $a\cdot{}b}$ ist genau dann $=0$, wenn (mindestens) einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ ist

Hier also $\sin(2x)=0$ oder $\sin(2x)=0$, dh. $\sin(2x)=0$

> dass nur noch sin(2x)=0 übrig bleibt? [ok]

> und was mach ich dann? kannst du
> mir das mal vorrechnen?  


Überlege mal, wie allg. die Nullstellen von $\sin(z)$ aussehen: $\sin(z)=0\gdw z=...$

Dann setze $z:=2x$ und forme das entsprechend um ...

LG

schachuzipus

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achsenschnittpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 07.01.2009
Autor: haZee

das versteh ich nicht. :(

Bezug
                                                        
Bezug
achsenschnittpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mi 07.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo,

> das versteh ich nicht. :(

Ich auch nicht, was verstehst du nicht?

Male dir den Graphen des Sinus auf, dann lies die NSTen im Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] ab und schreibe sie auf

Dann hast du [mm] $\sin(z)=0\gdw [/mm] z=....$ das, was du abgelesen und aufgeschrieben hast

Dann ist mit z:=2x eben genau [mm] $\sin(2x)=0\gdw [/mm] 2x=z=...$

Das nach x umstellen ...

LG

schachuzipus


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Bezug
achsenschnittpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Mi 07.01.2009
Autor: haZee

Die NSTen von sin sind bei [mm] k\pi, k\in\IZ [/mm]

also ist [mm] z=2k\pi [/mm] ? liegen die NSTen bei [mm] 2k\pi [/mm] ?

oder wie?

Bezug
                                                                        
Bezug
achsenschnittpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mi 07.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Die NSTen von sin sind bei [mm]k\pi, k\in\IZ[/mm] [ok]
>  
> also ist [mm]z=2k\pi[/mm] ? [ok] liegen die NSTen bei [mm]2k\pi[/mm] ?

nicht ganz

>  
> oder wie?

Es ist also [mm] $\sin(\red{z})=0\gdw \red{z}=k\pi$ [/mm]

Damit dann [mm] $\sin(\blue{2x})=0\gdw \blue{2x}=k\pi$, [/mm] also [mm] $x=k\cdot{}\frac{\pi}{2}$ [/mm]

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                
Bezug
achsenschnittpunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mi 07.01.2009
Autor: haZee

alles klar!
dankeschöööön :)

Bezug
                        
Bezug
achsenschnittpunkte: e)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Mi 07.01.2009
Autor: MathePower

Hallo haZee,


> zu e)
>  mich verunsichern die Betragsstriche


Meines Erachtens spielen die Betragsstriche hier keine Rolle,
da hier nur die Achsenschnittpunkte bestimmt werden müssen.

Anders sähe das aus, wenn gefragt ist,
für welche x-Werte nimmt diese Funktion den y-Wert 1 an?

Dann müßte man die Gleichung

[mm]12+x-x^{2}=\pm 1[/mm]

lösen.


> aber ohne diese würde ich erstmal in die normalform
> umstellen:
>  -x²+x+12=0
>  aber die Betragststriche darf ich doch bestimmt nicht
> einfach weglassen und was mach ich mit dem minus???


Mit dem Minus kannst Du durchmultiplizieren.


Gruß
MathePower

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