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Konvergenz

Definition Grenzwert

Eine Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge $ (a_n)_{n \in \IN} $,
wenn nach Vorgabe irgendeiner positiven (kleinen) Zahl $ \epsilon $ fast alle Folgenglieder die Ungleichung $ |a_n - g| < \epsilon $ erfüllen.

"Fast alle" bedeutet dabei, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.

Analog dazu spricht man auch vom Grenzwert einer Funktion


$ \lim_{0 \not=h \to 0} f(x_0 + h) $,

dabei stellt man sich vor, dass man feststellen möchte, welchen (festen) Wert f an der Stelle $ x_0 $ annimmt, obwohl man $ f(x_0) $ nicht ausrechnen kann, weil vielleicht $ x_0 $ nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört.
(siehe auch Differenzenquotient, stetig )


Anders gesagt:
In jeder noch so kleinen Umgebung von g liegen "fast alle" Folgenglieder.

Man schreibt dann: $ \lim_{n \to \infty}a_n = g $ .

Wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt, dann nennt man sie konvergent.

In mathematischen Symbolen:
Sei $ (a_n)_{n \in \IN} $ eine Zahlenfolge. Dann heißt $ (a_n)_{n \in \IN} $ konvergent, falls:

$ \exists g: $ $ \forall \varepsilon>0: $ $ \exists N=N_{\varepsilon}: $ $ \forall n > N: $ $ |a_n-g|<\varepsilon $.

Wenn sie keinen Grenzwert besitzt, nennt man sie divergent.

(Bemerkung: Die Folge $ (a_n)_{n \in \IN} $ heißt also divergent (oder nicht konvergent),
falls:
$ \forall d: $ $ \exists \varepsilon=\varepsilon_d>0: $ $ \forall N' \in \IN: $ $ \exists n' > N': $ $ |a_{n'}-d\,|\ge \varepsilon $.)


Bemerkungen.

1.) Folgen, die als Grenzwert 0 haben, nennt man Nullfolgen.

2.) Eine (reell- oder komplexwertige) Folge $ (a_n)_n $ konvergiert genau dann, wenn es ein $ g\, $ in $ \IR $ so gibt, dass $ (a_n-g)_n $ (oder $ (g-a_n)_n $) eine Nullfolge ist.

Insbesondere gilt: Genau dann gilt $ a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}g\,, $ wenn $ a_n-g \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 $ (bzw. $ g-a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 $).

3.) Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ in X konvergent, falls:

$ \exists x \in X: $ $ \forall \varepsilon>0: $ $ \exists N=N_{\varepsilon}: $ $ \forall n > N: $ $ d(x_n,x)<\varepsilon $.

Hierbei heißt $ x \in X $ der Grenzwert der Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ und ist eindeutig bestimmt, denn:

Seien $ x_1,x_2 \in X $ Grenzwerte der Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ in X und es sei $ \varepsilon>0 $ gegeben. Wir setzen $ \varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2} $.

Dann existiert ein $ N'=N'_{\varepsilon'} $, so dass gilt:
$ (\star) $ $ d(x_n,x_1)<\varepsilon' $ $ \forall n>N' $.

Weiter existiert ein $ N''=N''_{\varepsilon'} $, so dass gilt:

$ (\star \star) $ $ d(x_n,x_2)<\varepsilon' $ $ \forall n>N'' $.

Also gilt für alle $ n > max\{N';N''\} $:

$ d(x_1,x_2) \le d(x_1,x_n)+d(x_n,x_2)\stackrel{(\star),(\star \star)}{<} \varepsilon'+\varepsilon'=2\cdot{}\varepsilon'=2\cdot{}\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $.
Da $ \varepsilon>0 $ beliebig war, folgt:
$ d(x_1,x_2)=0 $ und damit $ x_1=x_2 $.            $ \Box $

(Ergänzung zu dem Beweis:

$ (\star \star \star) $Wenn für $ x_1,x_2 \in X $ gilt, dass für alle $ \varepsilon>0 $ die Ungleichung $ d(x_1,x_2)<\varepsilon $ erfüllt ist, dann folgt daraus, dass $ x_1=x_2 $ gilt.

Denn:

Es gelte $ (\star \star \star) $ und angenommen, es wäre $ x_1\not=x_2 $. Dann folgt:

$ d(x_1,x_2)>0 $. Wir setzen $ \varepsilon':=\frac{d(x_1,x_2)}{2}>0 $ und erhalten:

$ \varepsilon'=\frac{d(x_1,x_2)}{2}<d(x_1,x_2) $. Mit anderen Worten:

Wir haben ein $ \varepsilon'>0 $ gefunden, so dass $ d(x_1,x_2)>\varepsilon' $ gilt im Widerspruch zu $ (\star \star \star) $.    $ \Box $)

siehe auch: Grenzwertsätze

Erstellt: Fr 01.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mo 09.08.2010 um 07:39 von Marcel
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