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Untergruppe
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Untergruppe

Definition Untergruppe


Universität

Eine nichtleere Teilmenge $ U $ einer Gruppe $ G $ heißt eine Untergruppe von $ G $, wenn $ U $ mit der Verknüpfung aus $ G $ selbst eine Gruppe ist.

Setzt man für zwei nichtleere Teilmenge $ A $ und $ B $ einer Gruppe $ G $

$ AB:=\{ab\, \vert \, a \in A,\, b \in B\} $

und

$ A^{-1}:=\{a^{-1}\, \vert \, a \in A\} $,

so kann man die folgenden Unterraumkriterien formulieren:

Es sei $ G $ eine Gruppe und $ U \subseteq G $ eine nichtleere Teilmenge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

a) $ U $ ist eine Untergruppe von $ U $.

b) Aus $ u,\, v \in U $ folgt $ uv \in U $ und $ u^{-1} \in U $.

c) $ UU \subseteq U $ und $ U^{-1} \subseteq U $.

d) $ UU=U $ und $ U^{-1} = U $.

e) Aus $ u,\, v \in U $ folgt: $ uv^{-1} \in U $.

f) $ UU^{-1}\subseteq U $.

g) $ UU^{-1} = U $.

Für endliche Gruppen kann man noch ein günstigeres Kriterium formulieren:

Eine nichtleere endliche Teilmenge $ U $ einer Gruppe $ G $ ist genau dann eine Untergruppe, wenn mit alle $ u,\, v \in U $ auch $ uv $ in $ U $ liegt, d.h. wenn $ UU\subseteq U $ gilt.


Beispiele

a) In jeder Gruppe $ G $ sind stets $ \{e\} $ und $ G $ Untergruppen, die sogenannten trivialen Untergruppen. Klar ist auch, dass jede Untergruppe $ V $ einer Untergruppe $ U $ von $ G $ auch Untegrgruppe von $ G $ ist.

b) $ (\IZ,+) $ ist eine Untergruppe von $ (\IR,+) $, $ (\IR,+) $ ist eine Untergruppe von $ (\IC,+) $. Für jede natürliche Zahl $ n $ ist $ n\IZ=\{nm \, \vert\, m \in \IZ\} $ eine Untergruppe von $ \IZ\ (=(\IZ,+)) $. Ist $ d $ ein Teiler von $ n $, dann ist jedes Vielfache von $ n $ auch Vielfaches von $ d $. Folglich ist $ n\IZ \subseteq d\IZ $, und es ist $ (n\IZ,+) $ eine Untergruppe von $ (d\IZ,+) $.

c) Sei $ G=\{e,a,b,c\} $ die Kleinsche Vierergruppe. Es sind $ U=\{e,a\} $, $ V=\{e,b\} $ und $ W=\{e,c\} $ Untergruppen von $ G $.

d) Sei $ X $ eine nichtleere Menge, $ S(X) $ die symmetrische Gruppe von $ X $ und für ein festes Element $ a \in X $ sei

$ U:= \{f \in S(X)\, \vert \, f(a)=a\} $.

Für $ f,\, g \in U $ gilt: $ (f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(a)=a $; d.h. $ f \circ g \in U $. Außerdem ist $ f(a)=a $ äquivalent zu $ f^{-1}(a)=a $, also ist auch $ f^{-1} \in U $. Daher ist $ U $ eine Untergruppe von $ S(X) $.

e) In der symmetrischen Gruppe $ S(\IN) $ betrachten wir für jedes $ n \in \IN $ die Teilmenge

$ S_n'=\{f \in S(\IN)\, \vert \, f(i)=i\quad \mbox{für alle } \ i \in \IN \setminus \{1,2,\ldots,n\}\} $.

Die $ S_n' $ sind Untergruppen von $ S(\IN) $, Außerdem sieht man, dass für $ n<m $ auch $ S_n' $ eine Untergruppe von $ S_m' $ ist. Es handelt sich bei diesen $ S_n' $ nur um eine andere Schreibweise der symmetrischen Gruppen $ S_n $ (triviale Isomorphie). Fasst man die $ S_n $ in der angegebenen Weise als Untergruppen von $ S(\IN) $ auf, so ist für $ n \le m $ $ S_n $ eine Untergruppe von $ S_m $.

f) Wie man durch einfaches Ausrechnen der Produkte bestätigt, ist

$ V_4 = \left\{ e=Id, \quad a=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3}, \quad b=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2}, \quad c = \pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1} \right\} $

eine Untergruppe von $ S_4 $. Dies ist eine Realisierung der Kleinschen Vierergruppe, da durch die Festlegung $ a^2=b^2=e $ die Struktur der Vierergruppe bereits festgelegt ist.

g) Der Satz von Cayley lautet unter Verwendung des Begriffs Untergruppe: Jede Gruppe $ G $ ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $ S(G) $.


Interessant ist es natürlich, wie sich Untergruppen bei homomorphen Abbildungen verhalten:

Es seien $ G,\, H $ Gruppen, $ U $ eine Untergruppe von $ G $, $ V $ eine Untergruppe von $ H $ und $ \varphi:G \to H $ ein Homomorphismus. Dann gilt:

a) Das Bild $ \varphi(U) $ ist eine Untergruppe von $ H $.
b) Das Urbild $ \varphi^{-1}(V) $ ist eine Untergruppe von $ G $.

Die Sonderfälle $ U=G $ und $ V=\{e\} $ ergeben:

a) $ Bild(\varphi) $ ist eine Untergruppe von $ H $.
b) $ Kern(\varphi) $ ist eine Untergruppe von $ G $.

Als Bild eines inneren Automorphismismus ist mit jeder Untergruppe $ U $ von $ G $ und jedem $ g \in G $ auch $ gUg^{-1} $ eine Untergruppe von $ G $. Die Untergruppen $ gUg^{-1} $, $ g \in G $, heißen die zu $ U $ konjugierten Untergruppen. Untergruppen $ U,\, V $ von $ G $ heißen also konjugiert, wenn es ein $ g \in G $ gibt mit $ U=gVg^{-1} $. Man sieht leicht ein, dass die durch "$ U $ ist konjugiert zu $ V $" definierte Relation auf der Menge der Untergruppen von $ G $ eine Äquivalenzrelation ist. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Klassen konjugierter Untergruppen. Die Menge alles Untergruppen zerfällt also in disjunkte Klassen konjugierter Untergruppen. In abelschen Gruppen gilt stets $ gUg^{-1}=U $, d.h. in abelschen Gruppen bestehen die Klassen konjugierter Untergruppen jeweils aus genau einem Element.


Wie verhalten sich Untergruppen bei Mengenoperationen?


1) inneres Produkt

Es seien $ U,\, V $ Untergruppen einer Gruppe $ G $. Es ist $ UV $ genau dann eine Untergruppe, wenn $ UV=VU $ gilt. Sind also $ U,\, V $ Untergruppen einer abelschen Gruppe $ G $, dann ist $ UV $ eine Untergruppe von $ G $.

2) Durchschnitt

Ist $ G $ eine Gruppe, $ I $ eine nichtleere Menge und $ \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I} $ eine Familie von Untergruppen von $ G $, dann ist auch $ \bigcap\limits_{\alpha \in I} U_{\alpha} $ eine Untergruppe von $ G $.

3) Vereinigung

Die Vereinigung von Untergruppen ist im allgemeinen keine Untergruppe.


Quelle: isbn3446130799


Erstellt: Fr 26.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 04.09.2011 um 16:41 von nowhereman
Weitere Autoren: Marc
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