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Funktionsuntersuchung2
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Funktionsuntersuchung2

Untersuche die Funktion f mit

$ f(x)=\frac{\left|x^2-2x-3\right|}{2\cdot{}(x+1)} $


1. Definitionsbereich

Die Funktion $ f $ ist nur dann definiert, wenn die Nennerfunktion  $ n(x)=2(x+1) \ \not= \ 0 $  ist.
Wenn die Zählerfunktion  $ z(x)=\left|x^2-2x-3\right| $  eine gemeinsame Nullstelle mit $ n(x) $ hat, handelt es sich evtl. um eine hebbare Stelle, d.h. es gibt eine stetige Fortsetzung der Funktion $ f $.

Man erhält die möglichen Definitionslücken, indem man $ n(x) $ auf Nullstellen untersucht.

$ n(x)=0 $    $ \gdw $    $ 2\cdot{}(x+1)=0 $    $ \gdw $    $ x+1=0 $    $ \gdw $    $ x=-1 $

Es gilt $ z(-1)=0 $. D.h. die Definitionslücke könnte hebbar sein. Dazu müsste man der Funktion $ f $ an für $ x=-1 $ einen Wert zuweisen, so dass die Funktion in $ x=-1 $ stetig ist.

Da $ z(-1)=0 $ , erkennt man leicht die Faktorisierung $ z(x)=\left|(x+1)\cdot{}(x-3)\right|=|x+1| \cdot |x-3| $.

Es wird also eine Fallunterscheidung durchgeführt für:

$ (i) $      $ x < -1 $             $ \Rightarrow $   $ x+1 < 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-3 \le 0 $    $ \Rightarrow $    $ |x+1| = -(x+1) \ \ \ \wedge \ \ \ |x-3| = -(x-3) $

$ (ii) $     $ -1 < x < +3 $    $ \Rightarrow $   $ x+1 > 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-3 < 0 $    $ \Rightarrow $    $ |x+1| = +(x+1) \ \ \ \wedge \ \ \ |x-3| = -(x-3) $

$ (iii) $    $ +3\le x $             $ \Rightarrow $   $ x+1 \ge 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-3 \ge 0 $    $ \Rightarrow $    $ |x+1| = +(x+1) \ \ \ \wedge \ \ \ |x-3| = +(x-3) $


Damit erhält man auch folgende Darstellung der Funktion und kann entsprechend kürzen:

$ f(x)= \frac{\left|(x+1)\cdot{}(x-3)\right|}{2\cdot{}(x+1)} = \begin{cases} \frac{[-(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x<-1 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{-(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = -\frac{x-3}{2} = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} , & \mbox{für } -1<x<+3 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[+(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} =\frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x\ge+3 \mbox{ }  \end{cases} $


Also ist der Definitionsbereich von $ f $ gegeben durch $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1\} $, da dieser Wert $ x=-1 $ als Nullstelle des Nenners ausgeschlossen werden muss.



2. Stetigkeit

Wie man bereits aus 1. weiß, handelt es sich bei dem Graphen von $ f $ um eine Funktion aus insgesamt drei Geradenabschnitten.

Kritisch für die Stetigkeit sind hier lediglich die beiden Intervallgrenzen bei $ x=-1 $  bzw.  $ x=+3 $.


An der Stelle $ x=-1 $ existiert kein Funktionswert. Es wird jedoch überprüft, ob es sich hierbei um eine hebbare Definitionslücke handelt:

$ \lim_{x \to -1\uparrow} f(x)=  \lim_{x \to -1\uparrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=-2 $

$ \lim_{x \to -1\downarrow} f(x)= \lim_{x \to -1\downarrow} \left[-\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=+2 $

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle $ x=-1 $ unterscheiden sich $ \Rightarrow $ die Definitionslücke bei $ x=-1 $ ist nicht hebbar; die Funktion $ f $ ist bei $ x=-1 $ unstetig.


Nun wird überprüft, ob an der Intervallgrenze $ x=+3 $ Stetigkeit vorliegt:

$ \lim_{x \to +3\uparrow} f(x)= \lim_{x \to +3\uparrow}\left[-\frac{1}{2}\cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0 $

$ \lim_{x \to +3\downarrow} f(x) = \lim_{x \to +3\downarrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0=f(3) $

Die Funktion $ f $ ist also an der Stelle $ x=3 $ stetig.



3. Symmetrie

Wie man bereits aus 1. weiß, handelt es sich bei dem Graphen von $ f $ um eine Funktion aus insgesamt drei Geradenabschnitten.

Die Funktion $ f $ ist weder achsensymmetrisch zur $ y $-Achse, da $ f(-x)\neq f(x) $ noch punktsymmetrisch zum Ursprung wegen $ f(-x)\neq-f(x) $.



4. Verhalten im Unendlichen

Die Funktion $ f $ verhält sich für sehr große sowie sehr kleine $ x $ wie $ y=\frac{1}{2}(x-3) $, daher gilt:

$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $  und  $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $



5. Nullstellen

Aus $ f(x)=0 \Leftarrow \text{Zähler}=0 \Leftarrow x=3 $.
Die 2. Nullstelle des Zählers bei $ x=-1 $ entfällt als Nullstelle, da diese nicht im Definitionsbereich enthalten ist.

Damit hat $ f $ als einzige Nullstelle: $ N \ ( \ 3 \ | \ 0 \ ) $



6. Ableitungen

Die Funktion $ f $ wird über den Intervallen $ I_1=(-\infty; -1) $ und $ I_3=[+3; \infty) $ durch die ganzrationale Funktion $ y_{1,3}=\frac{1}{2}(x-3) $ sowie im Intervall $ I_2=(-1;+3) $ durch $ y_2=\frac{1}{2}(3-x) $ beschrieben und ist damit innerhalb dieser Intervalle stetig und beliebig oft differenzierbar.

Innerhalb der genannten Intervalle gilt also:

$ f'(x)=\begin{cases}+\frac{1}{2}, & \mbox{für } x<-1 \mbox{ } \\ -\frac{1}{2}, & \mbox{für } -1<x<+3 \mbox{ } \\ +\frac{1}{2}, & \mbox{für } x>+3 \mbox{ }  \end{cases} $

Da $ f $ an der Stelle $ x=-1 $ eine Unstetigkeitsstelle hat, ist sie dort auch nicht differenzierbar.

Es bleibt zu zeigen, dass $ f $ auch für $ x=+3 $ differenzierbar ist; sprich: der Differenzialquotient existiert.

Für den Grenzwert $ x \to +3 $ gilt:

$ f'(3\uparrow)= \lim_{x \to +3\uparrow} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x \to +3\uparrow} \frac{-\frac{1}{2} \cdot (x-3)-0 }{x-3}=\lim_{x \to +3\uparrow} \frac{-\frac{1}{2}\cdot{}(x-3)}{x-3}=-\frac{1}{2} $

$ f'(3\downarrow)= \lim_{x \to +3\downarrow} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x \to +3\downarrow} \frac{\frac{1}{2} \cdot (x-3)-0 }{x-3}=\lim_{x \to +3\downarrow} \frac{\frac{1}{2}\cdot{}(x-3)}{x-3}=+\frac{1}{2} $

Die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) unterscheiden sich. Von daher ist die Funktion an der Stelle $ x=+3 $ nicht differenzierbar.


Für die weiteren Ableitungen gilt also auch wieder nur innerhalb der o.g. Intervalle:

$ f''(x)=\begin{cases}0, & \mbox{für } x<-1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } -1<x<+3 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x>+3 \mbox{ }  \end{cases} $

$ \Rightarrow $    $ f''(x)=f'''(x)=...= 0 \ \mbox{für} \ x\in\IR\backslash \{-1;+3\} $


7. Extrempunkte

Notwendige Bedingung für Extrempunkte $ f'(x)=0 $: Wegen $ f'(x)=\pm\frac{1}{2}\neq 0 $ hat $ f $ also keine Extremstellen.

Jedoch liegen an den Intervallgrenzen jeweils Randextrema vor, an deren Stelle keine horizontale Tangente vorliegt (siehe auch Skizze unten).



8. Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: $ f''(x)=0 $
Wegen $ f''(x)=0 $ kommen alle $ x \in \mathbb{R} $ in Frage.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $ f''(x)=0 \wedge f'''(x)\neq 0 $
Wegen $ f'''(x)=0 $ läßt sich aus der hinreichenden Bedingung keine Aussage treffen. Damit wird es nötig $ f'' $ aus einen Vorzeichenwechsel zu untersuchen. Da $ f'' $ konstant $ 0 $ ist - und damit keine Vorzeichenwechsel hat - gibt es keinen Wendepunkt.



9. Skizze

Bild:Funktionsuntersuchung.png

Erstellt: Mo 28.02.2005 von informix
Letzte Änderung: So 04.02.2007 um 00:45 von Marc
Weitere Autoren: Loddar
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