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Funktionsuntersuchung1
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Funktionsuntersuchung1

Untersuche die Funktion f mit

$ f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-2x^2-5x+6 $


1. Definitionsbereich

Da f eine ganzrationale Funktion ist, ist der Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen: $ R $.


2. Stetigkeit

Man kann zeigen, dass alle ganzrationalen Funktionen stetig sind; daher wird dieser Punkt i.a. nicht gesondert hervorgehoben.


3. Symmetrie

Zu prüfen ist, ob eine der beiden Bedingungen für die Symmetrie einer Funktion vorliegen:

$ f(-x)=f(x) $, denn dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse,
$ f(-x)=-f(x) $, denn dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung


Wenn keine dieser Bedingungen erfüllt ist, liegt keine Symmetrie im o.a. Sinne vor.
Man kann leicht zeigen, dass für alle ganzrationalen Funktionen folgende leichter zu prüfenden Bedingungen gelten:

wenn der Funktionsterm von f nur gerade Exponenten enthält, dann gilt: $ f(-x)=f(x) $: f ist achsensyymetrisch.
wenn der Funktionsterm von f nur ungerade Exponenten enthält, dann gilt: $ f(-x)=-f(x) $: f ist punktsyymetrisch.

bei $ f(x)=x^3-2x^2-5x+6 $ kommen gerade und ungerade Exponenten vor $ \Rightarrow $ keine der o.a. Symmetrien liegt vor.


4. Verhalten im Unendlichen

Zu prüfen ist das Verhalten der Funktion für große x:
Man erkennt das Verhalten besonders leicht, wenn man im Term die höchste vorkommende Potenz von x ausklammert:

$ f(x)=x^3(1-\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^2}+\bruch{6}{x^3}) $


Für große x nähert sich der Wert in der Klammer offensichtlich dem Wert 1; lediglich der Term $ x^3 $ bestimmt das Verhalten von f: Es gilt:

$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $  und  $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $

Dies gilt für alle ganzrationalen Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten.
Ist der höchste Exponent gerade, so gilt:

$ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty $


5. Nullstellen


$ f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=x^3-2x^2-5x+6 $


Liegt der Funktionsterm bereits als Produkt von "kleineren" Faktoren vor, so gilt der Satz vom Nullprodukt, man kann daher die Nullstellen unmittelbar ablesen.
Andernfalls versucht man den Term durch Polynomdivision zu faktorisieren.

Hier liest man unmittelbar ab: $ x_1=1 $ , $ x_2=-2 $ , $ x_3=3 $


6. Ableitungen

Zum Ableiten benutzt man den ausmultiplizierten Term und wendet die Ableitungsregeln an:

$ f'(x)=3x^2-4x-5 $
$ f''(x)=6x-4 $
$ f'''(x)=6 $


7. Extrempunkte


$ f'(x)=0=3x^2-4x-5 $


liefert die Kandidaten für die Extremstellen (notwendige Bedingung).
Man löst die Gleichung mit der p-q-Formel oder der ABCFormel:

$ x=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{(\bruch{2}{3})^2+\bruch{5}{3}}=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4}{9}+\bruch{5}{3}}=\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{1}{9}(4+15)}=\bruch{2}{3}\pm\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{19} $
$ x_E=-0,79 $ oder $ x_E=2,12 $

Nachweis der hinreichenden Bedingung:

$ f''(\bruch{5}{3})=6>0 \Rightarrow $Tiefpunkt und
$ f''(-1)=-10<0 \Rightarrow $ Hochpunkt

Die y-Koordinaten der beiden Punkte ermittelt man, indem man $ x_E $ in den Term f(x) einsetzt:
$ f(\bruch{2}{3}-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{19})=8,21 $ und $ f(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{19})=-4,06 $


8. Wendepunkte

$ f''(x)=0=6x-4\Rightarrow x_W=\bruch{2}{3} $ (notwendige Bedingung)
da $ f'''(x)=6 $ für alle x größer als 0 ist, liegt tatsächlich eine Wendestelle vor: Wendepunkt $ W (\bruch{2}{3}|\bruch{56}{27}) $


9. Skizze


Bild:Funktionsuntersuchung2.png
Letzte Änderung: Fr 26.06.2009 um 22:27 von informix
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